Σε πολλούς τομείς της οικονομίας, των οικονομικών, της παραγωγής και της καθημερινής ζωής, παίζουν σημαντικό ρόλο συστήματα ουράς(SMO), δηλ. τέτοια συστήματα στα οποία αφενός προκύπτουν μαζικά αιτήματα (απαιτήσεις) για την εκτέλεση οποιασδήποτε υπηρεσίας και αφετέρου τα αιτήματα αυτά ικανοποιούνται.

Ως παραδείγματα QS στον χρηματοοικονομικό και οικονομικό τομέα, μπορούμε να αναφέρουμε συστήματα που είναι: τράπεζες διαφόρων τύπων, ασφαλιστικοί οργανισμοί, φορολογικές επιθεωρήσεις, υπηρεσίες ελέγχου, διάφορα συστήματα επικοινωνίας (συμπεριλαμβανομένων των τηλεφωνικών κέντρων), συγκροτήματα φόρτωσης και εκφόρτωσης (σταθμοί εμπορευμάτων), βενζινάδικα, διάφορες επιχειρήσειςκαι φορείς παροχής υπηρεσιών (καταστήματα, καταστήματα εστίασης, γραφεία πληροφοριών, κομμωτήρια, εκδοτήρια εισιτηρίων, ανταλλακτήρια συναλλάγματος, συνεργεία επισκευής, νοσοκομεία).

Συστήματα όπως δίκτυα υπολογιστών, συστήματα συλλογής, αποθήκευσης και επεξεργασίας πληροφοριών, συστήματα μεταφορών, αυτοματοποιημένες περιοχές παραγωγής, γραμμές παραγωγής μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως ένα είδος QS.

Στο εμπόριο, πολλές πράξεις εκτελούνται κατά τη διαδικασία μετακίνησης της μάζας των αγαθών από τη σφαίρα της παραγωγής στη σφαίρα της κατανάλωσης. Τέτοιες εργασίες είναι: φόρτωση και εκφόρτωση εμπορευμάτων, μεταφορά, συσκευασία, συσκευασία, αποθήκευση, έκθεση, πώληση κ.λπ. εμπορικές δραστηριότητεςΧαρακτηρίζεται από μαζική παραλαβή αγαθών, χρημάτων, μαζική εξυπηρέτηση πελατών κ.λπ., καθώς και την εκτέλεση αντίστοιχων πράξεων που έχουν τυχαίο χαρακτήρα. Όλα αυτά δημιουργούν ανομοιομορφίες στην εργασία εμπορικές οργανώσειςκαι των επιχειρήσεων, δημιουργεί υποφορτώσεις, διακοπές και υπερφορτώσεις. Οι ουρές καταλαμβάνουν πολύ χρόνο, για παράδειγμα, για πελάτες σε καταστήματα, οδηγούς αυτοκινήτων σε αποθήκες εμπορευμάτων που περιμένουν για εκφόρτωση ή φόρτωση.

Από αυτή την άποψη, προκύπτουν προβλήματα κατά την ανάλυση της εργασίας, για παράδειγμα, του τμήματος πωλήσεων, εμπορική επιχείρησηή τμήματα, να αξιολογήσουν τις δραστηριότητές τους, να εντοπίσουν ελλείψεις, να επιφυλάξουν και τελικά να λάβουν μέτρα με στόχο την αύξηση της αποτελεσματικότητάς του. Επιπλέον, προκύπτουν προβλήματα που σχετίζονται με τη δημιουργία και εφαρμογή πιο οικονομικών μεθόδων εκτέλεσης εργασιών σε ένα τμήμα, τμήμα, εμπορική επιχείρηση, βάση λαχανικών, τμήμα εμπορίου κ.λπ. Κατά συνέπεια, στην οργάνωση του εμπορίου, οι μέθοδοι της θεωρίας αναμονής το καθιστούν είναι δυνατό να προσδιοριστεί η βέλτιστη ποσότητα καταστήματα λιανικήςενός δεδομένου προφίλ, τον αριθμό των πωλητών, τη συχνότητα παράδοσης των αγαθών και άλλες παραμέτρους.

Ένα άλλο τυπικό παράδειγμα συστημάτων ουράς μπορεί να είναι οι αποθήκες ή οι βάσεις των οργανισμών προμήθειας και πωλήσεων, και το καθήκον της θεωρίας ουράς αναμονής καταλήγει στον καθορισμό της βέλτιστης αναλογίας μεταξύ του αριθμού των αιτημάτων υπηρεσίας που φθάνουν στη βάση και του αριθμού των συσκευών εξυπηρέτησης, στις οποίες Το συνολικό κόστος συντήρησης και οι απώλειες από τη διακοπή της μεταφοράς θα ήταν ελάχιστες. Η θεωρία της ουράς μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί κατά τον υπολογισμό του εμβαδού των χώρων της αποθήκης, ενώ ο χώρος της αποθήκης θεωρείται ως συσκευή εξυπηρέτησης και η άφιξη οχήματαγια εκφόρτωση - ως απαίτηση.

Κύρια χαρακτηριστικά του SMO

Το QS περιλαμβάνει τα ακόλουθα στοιχεία: πηγή απαιτήσεων, εισερχόμενη ροή απαιτήσεων, ουρά, συσκευή εξυπηρέτησης (κανάλι υπηρεσίας), εξερχόμενη ροή απαιτήσεων (εξυπηρετούμενες εφαρμογές).

Κάθε QS έχει σχεδιαστεί για να εξυπηρετεί (εκπληρώνει) μια συγκεκριμένη ροή εφαρμογών (απαιτήσεων) που φτάνουν στην είσοδο του συστήματος, γενικά όχι τακτικά, αλλά σε τυχαίους χρόνους. Η εξυπηρέτηση των εφαρμογών επίσης δεν διαρκεί σταθερό, προκαθορισμένο χρόνο, αλλά τυχαίο χρόνο, ο οποίος εξαρτάται από πολλούς τυχαίους λόγους. Μετά την εξυπηρέτηση του αιτήματος, το κανάλι απελευθερώνεται και είναι έτοιμο να λάβει το επόμενο αίτημα.

Η τυχαία φύση της ροής των αιτημάτων και ο χρόνος της εξυπηρέτησής τους οδηγεί σε ανομοιόμορφο φορτίο στο QS: σε ορισμένα χρονικά διαστήματα, οι μη εξυπηρετούμενες αιτήσεις μπορεί να συσσωρεύονται στην είσοδο του QS, κάτι που οδηγεί σε υπερφόρτωση του QS άλλα χρονικά διαστήματα, όταν υπάρχουν ελεύθερα κανάλια στην είσοδο του QS, δεν θα υπάρχουν αιτήματα, γεγονός που οδηγεί σε υποφόρτωση του QS, δηλ. στην αδράνεια των καναλιών της. Οι αιτήσεις που συσσωρεύονται στην είσοδο του QS είτε «μπαίνουν» στην ουρά, είτε για κάποιο λόγο η αδυναμία περαιτέρω παραμονής στην ουρά αφήνει το QS αδιάθετο.

Το διάγραμμα QS φαίνεται στην Εικόνα 5.1.

Εικόνα 5.1 - Σχέδιο του συστήματος αναμονής

Κάθε QS περιλαμβάνει στη δομή του έναν ορισμένο αριθμό συσκευών εξυπηρέτησης, οι οποίες καλούνται κανάλια εξυπηρέτησης. Το ρόλο των καναλιών μπορούν να παίξουν διάφορες συσκευές, άτομα που εκτελούν ορισμένες λειτουργίες (ταμίες, χειριστές, πωλητές), γραμμές επικοινωνίας, αυτοκίνητα κ.λπ.

Κάθε QS, ανάλογα με τις παραμέτρους του: τη φύση της ροής των εφαρμογών, τον αριθμό των καναλιών εξυπηρέτησης και την παραγωγικότητά τους, καθώς και τους κανόνες για την οργάνωση της εργασίας, έχει μια ορισμένη λειτουργική απόδοση (διακίνηση), επιτρέποντάς του να είναι περισσότερο ή λιγότερο επιτυχημένη αντιμετωπίζουν τη ροή των εφαρμογών.

Το QS είναι το αντικείμενο μελέτης θεωρία της ουράς.

Σκοπός της Θεωρίας Ουρών— ανάπτυξη συστάσεων για την ορθολογική κατασκευή των QS, την ορθολογική οργάνωση της εργασίας τους και τη ρύθμιση της ροής των εφαρμογών για τη διασφάλιση υψηλή απόδοσηλειτουργία του QS.

Για την επίτευξη αυτού του στόχου, τίθενται τα καθήκοντα της θεωρίας αναμονής, τα οποία συνίστανται στον καθορισμό των εξαρτήσεων της αποτελεσματικότητας της λειτουργίας του QS από την οργάνωσή του (παραμέτρους).

Ως χαρακτηριστικά απόδοσης του συστήματος QSΜπορείτε να επιλέξετε τρεις κύριες ομάδες δεικτών (συνήθως κατά μέσο όρο):

1. Δείκτες αποτελεσματικότητας της χρήσης QS:

1.1. Η απόλυτη χωρητικότητα του QS είναι ο μέσος αριθμός αιτημάτων που μπορεί να εξυπηρετήσει το QS ανά μονάδα χρόνου.

1.2. Η σχετική χωρητικότητα του QS είναι ο λόγος του μέσου αριθμού εφαρμογών που εξυπηρετήθηκαν από το QS ανά μονάδα χρόνου προς τον μέσο αριθμό των αιτήσεων που ελήφθησαν κατά το ίδιο χρονικό διάστημα.

1.3. Μέση διάρκεια της περιόδου απασχόλησης της ΚΟΑ.

1.4. Το ποσοστό χρήσης QS είναι το μέσο μερίδιο του χρόνου κατά το οποίο το QS είναι απασχολημένο με αιτήματα εξυπηρέτησης.

2. Δείκτες ποιότητας υπηρεσιών εφαρμογής:

2.1. Μέσος χρόνος αναμονής για μια εφαρμογή στην ουρά.

2.2. Μέσος χρόνος παραμονής μιας εφαρμογής στον ΚΟΑ.

2.3. Η πιθανότητα να απορριφθεί η εξυπηρέτηση ενός αιτήματος χωρίς αναμονή.

2.4. Η πιθανότητα μια ληφθείσα αίτηση να γίνει άμεσα αποδεκτή για επίδοση.

2.5. Νόμος κατανομής χρόνου αναμονής για αίτηση σε ουρά.

2.6. Ο νόμος κατανομής του χρόνου παραμονής μιας αίτησης στο QS.

2.7. Ο μέσος αριθμός εφαρμογών στην ουρά.

2.8. Μέσος αριθμός αιτήσεων στην ΚΟΑ κ.λπ.

3. Δείκτες της αποτελεσματικότητας του ζεύγους "ΚΟΑ - καταναλωτής", όπου ως «καταναλωτής» νοείται το σύνολο των εφαρμογών ή ορισμένες από τις πηγές τους (για παράδειγμα, το μέσο εισόδημα που φέρνει το QS ανά μονάδα χρόνου, κ.λπ.).

Ο τυχαίος χαρακτήρας της ροής των αιτήσεων και η διάρκεια της υπηρεσίας τους προκαλεί τυχαία διαδικασία. Γιατί στιγμές στο χρόνο T iκαι χρονικά διαστήματα για την παραλαβή των αιτήσεων Τ, διάρκεια εργασιών συντήρησης T obs, στέκεται στην ουρά Τ πολύ καλό, μήκος ουράς Είμαι πολύ καλόςείναι τυχαίες μεταβλητές, τότε τα χαρακτηριστικά της κατάστασης των συστημάτων ουράς είναι πιθανολογικού χαρακτήρα. Επομένως, για να λυθούν τα προβλήματα της θεωρίας ουρών, είναι απαραίτητο να μελετηθεί αυτή η τυχαία διαδικασία, δηλ. να κατασκευάσει και να αναλύσει το μαθηματικό του μοντέλο.

Η μαθηματική μελέτη της λειτουργίας ενός QS απλοποιείται σημαντικά εάν η τυχαία διαδικασία που συμβαίνει σε αυτό είναι Μαρκοβιανός. Για να είναι μια τυχαία διαδικασία Μαρκοβιανή, είναι απαραίτητο και αρκετό όλες οι ροές γεγονότων υπό την επίδραση των οποίων συμβαίνουν οι μεταβάσεις του συστήματος από κατάσταση σε κατάσταση να είναι (οι απλούστερες) Poisson.

Η απλούστερη ροή έχει τρεις βασικές ιδιότητες: συνηθισμένο, ακίνητο και έλλειψη επακόλουθου αποτελέσματος.

Συνήθης ροήσημαίνει την πρακτική αδυναμία ταυτόχρονης παραλαβής 2 ή περισσότερων αιτημάτων. Για παράδειγμα, η πιθανότητα να χαλάσουν πολλές ταμειακές μηχανές σε ένα κατάστημα self-service ταυτόχρονα είναι αρκετά μικρή.

Ακίνητοςείναι μια ροή για την οποία η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των αιτημάτων που εισέρχονται στο σύστημα ανά μονάδα χρόνου (σημ. λ ), δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Έτσι, η πιθανότητα ένας συγκεκριμένος αριθμός απαιτήσεων να εισέλθει στο σύστημα κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης χρονικής περιόδου ?Τεξαρτάται από το μέγεθός του και δεν εξαρτάται από την αρχή της μέτρησής του στον άξονα του χρόνου.

Χωρίς επακόλουθοσημαίνει ότι ο αριθμός των απαιτήσεων που έλαβε το σύστημα πριν από τη στιγμή Τ, δεν καθορίζει πόσα αιτήματα θα εισέλθουν στο σύστημα με την πάροδο του χρόνου (T+?T). Για παράδειγμα, εάν σε ταμειακή μηχανήΑυτή τη στιγμή υπήρξε σπάσιμο στην ταινία του ταμείου και επισκευάστηκε από το ταμείο, αυτό δεν επηρεάζει την πιθανότητα νέας διακοπής σε αυτό το ταμείο την επόμενη στιγμή, και ακόμη περισσότερο την πιθανότητα να συμβεί κάποιο σπάσιμο σε άλλες ταμειακές μηχανές.

Για την απλούστερη ροή, η συχνότητα των αιτημάτων που εισέρχονται στο σύστημα υπακούει στο νόμο του Poisson, δηλ. στην πιθανότητα άφιξης στο χρόνο Τλείος κοι απαιτήσεις δίνονται από τον τύπο

Οπου λ — ένταση της ροής εφαρμογών, δηλαδή ο μέσος αριθμός αιτήσεων που έλαβε το QS ανά μονάδα χρόνου,

Οπου τ — τη μέση τιμή του χρονικού διαστήματος μεταξύ δύο γειτονικών εφαρμογών.

Για μια τέτοια ροή εφαρμογών, ο χρόνος μεταξύ δύο γειτονικών εφαρμογών κατανέμεται εκθετικά με πυκνότητα πιθανότητας

Ο τυχαίος χρόνος αναμονής στην ουρά για την έναρξη της υπηρεσίας μπορεί επίσης να θεωρηθεί ότι κατανέμεται εκθετικά:

Οπου ν — ένταση κυκλοφορίας στην ουρά, δηλαδή ο μέσος αριθμός αιτήσεων που φθάνουν για υπηρεσία ανά μονάδα χρόνου,

Οπου Τ οχ- μέση τιμή του χρόνου αναμονής στην ουρά.

Η ροή εξόδου των αιτημάτων σχετίζεται με τη ροή υπηρεσίας στο κανάλι, όπου η διάρκεια της υπηρεσίας T obsείναι μια τυχαία μεταβλητή και σε πολλές περιπτώσεις υπακούει στον νόμο της εκθετικής κατανομής με την πυκνότητα

Οπου μ — ένταση ροής υπηρεσιών, δηλαδή ο μέσος αριθμός αιτήσεων που εξυπηρετήθηκαν ανά μονάδα χρόνου,

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό ενός συστήματος QS που συνδυάζει δείκτες λ Και μ , είναι ένταση φορτίου,που δείχνει τον βαθμό συντονισμού των καθορισμένων ροών εφαρμογών:

Αναφερόμενοι δείκτες k, τ, λ, l och, T och, ν, T obs, μ, ρ, Р kείναι τα πιο κοινά για QS.

Στην αναλυτική μοντελοποίηση, η μελέτη διεργασιών ή αντικειμένων αντικαθίσταται από την κατασκευή των μαθηματικών τους μοντέλων και τη μελέτη αυτών των μοντέλων. Η μέθοδος βασίζεται στην ταυτότητα της μορφής των εξισώσεων και στη μοναδικότητα των σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών στις εξισώσεις που περιγράφουν το πρωτότυπο και το μοντέλο. Δεδομένου ότι τα γεγονότα που συμβαίνουν σε τοπικά δίκτυα υπολογιστών είναι τυχαία στη φύση, οι πιθανοτικές μέθοδοι είναι οι πλέον κατάλληλες για τη μελέτη τους. μαθηματικά μοντέλαθεωρία της ουράς.

Αναλυτικό μοντέλοδίκτυο είναι ένα σύνολο μαθηματικών σχέσεων που συνδέουν τα χαρακτηριστικά εισόδου και εξόδου του δικτύου. Όταν κάποιος δημιουργεί τέτοιες σχέσεις, πρέπει να παραμελεί κάποιες ασήμαντες λεπτομέρειες ή περιστάσεις.

Με κάποια απλοποίηση, ένα τηλεπικοινωνιακό δίκτυο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σύνολο επεξεργαστών (κόμβων) που συνδέονται με κανάλια επικοινωνίας. Ένα μήνυμα που φθάνει σε έναν κόμβο περιμένει κάποιο χρόνο πριν υποβληθεί σε επεξεργασία. Αυτό μπορεί να δημιουργήσει μια ουρά τέτοιων μηνυμάτων που περιμένουν επεξεργασία. Χρόνος μετάδοσης ή συνολικός χρόνος καθυστέρησης μηνύματος:

όπου είναι ο χρόνος διάδοσης, ο χρόνος υπηρεσίας και ο χρόνος αναμονής, αντίστοιχα. Ένα από τα καθήκοντα της αναλυτικής μοντελοποίησης είναι ο προσδιορισμός της μέσης τιμής ΡΕ.Με μεγάλα φορτία, η κύρια συνεισφορά προέρχεται από την αναμονή για σέρβις IV.Για την περιγραφή των ουρών, η σημείωση του D. J. Kendell θα χρησιμοποιηθεί ως εξής:

Οπου ΕΝΑ– διαδικασία άφιξης· ΣΕ -διαδικασία εξυπηρέτησης· ΜΕ– αριθμός διακομιστών (κόμβοι). ΝΑ– μέγιστο μέγεθος ουράς (προεπιλογή – ∞);

σε– αριθμός πελατών (από προεπιλογή – ναι). z – σχήμα λειτουργίας buffer (FIFO από προεπιλογή).

Γράμματα ΕΝΑΚαι ΣΕαντιπροσωπεύουν τις διαδικασίες άφιξης και εξυπηρέτησης και συνήθως αντικαθίστανται από τα ακόλουθα γράμματα, που χαρακτηρίζουν το νόμο που αντιστοιχεί στη διανομή των γεγονότων:

Τα πιο κοινά σχήματα λειτουργίας buffer είναι

FIFO (First-In-First-Out), LIFO (Last-In-First-Out) και FIRO (First-In-Random-Out). Για παράδειγμα, εγγραφή Μ/Μ/2σημαίνει μια ουρά για την οποία οι χρόνοι άφιξης και εξυπηρέτησης έχουν εκθετική κατανομή, υπάρχουν δύο διακομιστές, το μήκος της ουράς και ο αριθμός των πελατών μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλος και η προσωρινή μνήμη λειτουργεί σύμφωνα με το σχήμα FIFO.

Μέσο μήκος ουράς Qγια δεδομένη μέση συχνότητα μηνύματος εισόδου λ και μέσο χρόνο αναμονής Wπροσδιορίζεται με βάση το θεώρημα του Lytle (1961):

Για την επιλογή ουράς M/G/ 1, η διαδικασία εισαγωγής χαρακτηρίζεται από μια κατανομή Poisson με ρυθμό άφιξης μηνύματος λ. Πιθανότητα εισαγωγής Ναμηνύματα σύνδεσης εκ των προτέρων tισούται με:

(3.3)

Αφήνω Ν– αριθμός πελατών στο σύστημα, Qείναι ο αριθμός των πελατών στην ουρά και αφήστε την πιθανότητα να ανιχνεύσει ένας εισερχόμενος πελάτης ιάλλοι πελάτες ισούται με:

Τότε ο μέσος χρόνος αναμονής είναι:

όπου σ είναι η τυπική απόκλιση για την κατανομή του χρόνου υπηρεσίας.

Για την επιλογή ουράς (Η – λειτουργία

κατανομή χρόνου υπηρεσίας). Από πού πρέπει να προέρχεται;

Για την επιλογή ουράς M/D/ 1 χρόνος υπηρεσίας είναι σταθερός και ο μέσος χρόνος αναμονής είναι:

Ας εξετάσουμε μια παραλλαγή ενός δικτύου Ethernet που βασίζεται σε έναν διανομέα μεταγωγής με τον αριθμό των καναλιών Ν.Σε αυτή την περίπτωση, θα θεωρηθεί ότι τα μηνύματα στην είσοδο όλων των κόμβων έχουν κατανομή Poisson με μέση ένταση η κατανομή των μηνυμάτων κατά μήκος είναι αυθαίρετη. Τα μηνύματα αποστέλλονται με την ίδια σειρά με την οποία έφτασαν. Η κίνηση στο δίκτυο θεωρείται ότι είναι συμμετρική. Η ουρά έχει μοντέλο. Ο μέσος χρόνος αναμονής σε αυτήν την περίπτωση είναι:

Οπου

(3.9)

όπου είναι η πιθανότητα να σταλεί το μήνυμα του αποστολέα στον παραλήπτη Η απαίτηση σταθερότητας το απαιτεί nαυτό οδηγεί σε

Η λειτουργία ενός δικτύου Ethernet χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό παραμέτρων, συμπεριλαμβανομένης της πιθανότητας σύλληψης καναλιού και της αποτελεσματικότητας. Η πρώτη παράμετρος καθορίζεται από την έκφραση

Οπου Ρ – την πιθανότητα ότι ακριβώς ένας σταθμός θα προσπαθήσει να μεταδώσει ένα καρέ κατά τη διάρκεια ενός κύκλου ρολογιού και να καταλάβει το κανάλι. Ε -ο αριθμός των σταθμών που προσπαθούν να αποκτήσουν ένα κανάλι για τη μετάδοση ενός πλαισίου δεδομένων.

Η αποτελεσματικότητα του LAN Ethernet προσδιορίζεται ως εξής. Ο συνολικός χρόνος λειτουργίας ενός δικτύου Ethernet διαιρείται μεταξύ διαστημάτων μετάδοσης και διαστημάτων διαμάχης. Για να μεταδώσετε ένα πλαίσιο δεδομένων, χρειάζεστε L/Cδευτερόλεπτα, όπου μεγάλο– μήκος πλαισίου σε bit, ΜΕ– ρυθμός μεταφοράς δεδομένων σε bit/sec. Μέσος χρόνος Τ , που απαιτείται για τη λήψη του καναλιού, ισούται με:

Οπου W– ο μέσος αριθμός κύκλων ρολογιού που έχουν περάσει στο διάστημα αντιπαράθεσης έως ότου ο σταθμός πιάσει το κανάλι για να μεταδώσει ένα πλαίσιο δεδομένων. ΣΕ– διάρκεια ρολογιού ή χρόνος έως ότου εντοπιστεί μια σύγκρουση μετά την έναρξη της μετάδοσης καρέ.

Μέσος αριθμός κύκλων Wυπολογίζεται ως εξής:

Λαμβάνοντας υπόψη τους εισαγόμενους δείκτες, αποτελεσματικότητα Ε Η λειτουργία ενός τοπικού δικτύου Ethernet καθορίζεται ως εξής:

Οι ακόλουθοι τύποι QS χρησιμοποιούνται συχνότερα για τη μοντελοποίηση ενός LAN:

• 1. Μονοκάναλο QS με αναμονή. Αντιπροσωπεύουν μία συσκευή σερβιρίσματος με ατελείωτη ουρά. Αυτό το QS είναι το πιο κοινό στη μοντελοποίηση. Με τον ένα ή τον άλλο βαθμό προσέγγισης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προσομοίωση σχεδόν οποιουδήποτε κόμβου LAN.
• 2. Μονοκάναλο QS με απώλειες. Αντιπροσωπεύουν μία συσκευή εξυπηρέτησης με πεπερασμένο αριθμό θέσεων στην ουρά. Εάν ο αριθμός των αιτήσεων υπερβαίνει τον αριθμό των θέσεων στην ουρά, τότε οι επιπλέον εφαρμογές χάνονται. Αυτός ο τύπος QS μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά τη μοντελοποίηση καναλιών μετάδοσης σε ένα LAN.
• 3. Πολυκαναλικό QS με αναμονή. Είναι αρκετοί διακομιστές παράλληλης λειτουργίας με μια κοινή ατελείωτη ουρά. Αυτός ο τύπος QS χρησιμοποιείται συχνά κατά τη μοντελοποίηση ομάδων τερματικών συνδρομητών LAN που λειτουργούν σε διαδραστική λειτουργία.
• 4. Πολυκαναλικό QS με απώλειες. Είναι πολλές συσκευές παράλληλης λειτουργίας με κοινή ουρά, ο αριθμός των θέσεων στις οποίες είναι περιορισμένος. Αυτά τα QS, όπως τα μονοκάναλα με απώλειες, χρησιμοποιούνται συχνά για τη μοντελοποίηση καναλιών επικοινωνίας σε ένα LAN.
• 5. Μονοκαναλικό QS με ομαδική παραλαβή αιτημάτων. Αντιπροσωπεύουν μία συσκευή σερβιρίσματος με ατελείωτη ουρά. Πριν από την εξυπηρέτηση, τα αιτήματα ομαδοποιούνται σε πακέτα σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα.
• 6. Μονοκάναλο QS με ομαδική εξυπηρέτηση αιτημάτων. Αντιπροσωπεύουν μία συσκευή σερβιρίσματος με ατελείωτη ουρά. Οι αιτήσεις υποβάλλονται σε επεξεργασία σε παρτίδες που καταρτίζονται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα. Οι δύο τελευταίοι τύποι QS μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μοντελοποίηση τέτοιων κόμβων LAN ως κέντρα μεταγωγής (κόμβοι).

Ένα τοπικό δίκτυο στο σύνολό του μπορεί να αναπαρασταθεί ως δίκτυο αναμονής. Διακρίνω ανοιχτό, κλειστό Και μικτός δίκτυα.

Ανοιχτό ονομάζεται σύστημα αναμονής που αποτελείται από Μ κόμβους, και τουλάχιστον ένας από τους κόμβους δικτύου λαμβάνει μια εισερχόμενη ροή αιτημάτων από το εξωτερικό και υπάρχει μια απορρόφηση αιτημάτων από το δίκτυο. Είναι χαρακτηριστικό των ανοιχτών δικτύων ότι η ένταση των εφαρμογών που εισέρχονται στο δίκτυο δεν εξαρτάται από την κατάσταση του δικτύου, δηλαδή από τον αριθμό των εφαρμογών που έχουν ήδη ληφθεί από το δίκτυο. Τα ανοιχτά δίκτυα χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση LAN που λειτουργούν σε μη λειτουργική λειτουργία. Κάθε αίτημα λαμβάνεται στην είσοδο του αντίστοιχου κόμβου μεταγωγής, όπου καθορίζεται ο τόπος επεξεργασίας του. Στη συνέχεια η εφαρμογή μεταδίδεται στον «δικό της» διακομιστή ή μέσω ενός καναλιού επικοινωνίας σε έναν «γειτονικό», όπου υποβάλλεται σε επεξεργασία, μετά την οποία επιστρέφει στην πηγή και αποχωρεί από το δίκτυο.

Κλειστό ονομάζεται δίκτυο ουράς με πολλούς κόμβους Μ χωρίς πηγή και νεροχύτη, στον οποίο κυκλοφορεί σταθερός αριθμός εφαρμογών. Τα κλειστά QS χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση τέτοιων LAN, οι πηγές πληροφοριών των οποίων είναι τερματικά χρήστη που λειτουργούν σε διαδραστική λειτουργία. Σε αυτή την περίπτωση, κάθε ομάδα τερματικών συνδρομητών αντιπροσωπεύεται ως πολυκαναλικό σύστημα ουράς με αναμονή και περιλαμβάνεται στις συσκευές δικτύου.

Διακρίνω απλός Και δύσκολος τρόποι λειτουργίας των διαδραστικών συνδρομητών. Στην απλή λειτουργία, οι συνδρομητές δεν εκτελούν άλλες ενέργειες εκτός από την αποστολή εργασιών στο LAN και τη σκέψη για τη ληφθείσα απόκριση.

Οι συνδρομητές από τα τερματικά στέλνουν αιτήματα, τα οποία λαμβάνονται μέσω καναλιών επικοινωνίας σε κόμβους μεταγωγής και από εκεί - για επεξεργασία στον "δικό τους" ή "γειτονικό" διακομιστή. Η περαιτέρω επεξεργασία πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως στο ανοιχτό δίκτυο.

Σε έναν σύνθετο τρόπο διαλόγου, η εργασία των συνδρομητών αναπαρίσταται ως ένα σύνολο λειτουργιών μιας συγκεκριμένης διαδικασίας, που ονομάζεται τεχνολογική. Κάθε λειτουργία της τεχνολογικής διαδικασίας μοντελοποιείται από το αντίστοιχο QS. Ορισμένες λειτουργίες περιλαμβάνουν πρόσβαση στο LAN, ενώ ορισμένες λειτουργίες ενδέχεται να μην περιλαμβάνουν τέτοια πρόσβαση. Ο αλγόριθμος λειτουργίας του ίδιου του LAN είναι ο ίδιος όπως για ένα κλειστό δίκτυο.

Ένα δίκτυο ουράς ονομάζεται μικτό, στο οποίο κυκλοφορούν πολλοί διαφορετικοί τύποι αιτημάτων (γραφικά) και το δίκτυο είναι κλειστό σε σχέση με ορισμένους τύπους αιτημάτων και ανοιχτό σε σχέση με άλλους. Με τη βοήθεια του μικτού QS, μοντελοποιούνται τέτοια LAN, ορισμένοι από τους συνδρομητές των οποίων εργάζονται σε λειτουργία online και άλλοι σε μη διαδικτυακή λειτουργία. Για τους διαδραστικούς συνδρομητές, διακρίνεται επίσης ένας απλός και σύνθετος τρόπος λειτουργίας. Συχνά μικτά QS μοντελοποιούν ένα LAN στο οποίο ο διακομιστής φορτώνεται επιπλέον με εργασίες που επιλύονται στο πλαίσιο της λειτουργίας του ίδιου του δικτύου.

Ο αλγόριθμος λειτουργίας δικτύου για διαδραστικούς συνδρομητές είναι παρόμοιος με τον αλγόριθμο λειτουργίας κλειστού δικτύου και ο αλγόριθμος λειτουργίας δικτύου για μη λειτουργικούς συνδρομητές είναι παρόμοιος με τον αλγόριθμο λειτουργίας ανοιχτού δικτύου.

Υπάρχουν εκθετικά και μη εκθετικά μοντέλα LAN. Εκθετικά μοντέλα βασίζονται στην υπόθεση ότι οι ροές των αιτημάτων που εισέρχονται στο LAN είναι Poisson και ο χρόνος εξυπηρέτησης στους κόμβους LAN έχει εκθετική κατανομή.

Για τέτοια δίκτυα, έχουν ληφθεί ακριβείς μέθοδοι για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών τους. η πολυπλοκότητα της απόκτησης μιας λύσης εξαρτάται κυρίως από τη διάσταση του δικτύου.

Ωστόσο, στα περισσότερα δίκτυα (και ιδιαίτερα στα τοπικά δίκτυα) οι ροές δεν είναι Poisson. Τα μοντέλα τέτοιων δικτύων ονομάζονται μη εκθετική. Κατά την ανάλυση μη εκθετικών δικτύων, στη γενική περίπτωση δεν υπάρχουν ακριβείς λύσεις, επομένως οι κατά προσέγγιση μέθοδοι χρησιμοποιούνται περισσότερο εδώ.

Μια τέτοια μέθοδος είναι μέθοδος προσέγγισης διάχυσης. Η χρήση της προσέγγισης διάχυσης κατέστησε τώρα δυνατή την απόκτηση κατά προσέγγιση αναλυτικών εξαρτήσεων για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών όλων των τύπων QS που συζητήθηκαν παραπάνω.

Σε αυτήν την περίπτωση, δεν απαιτείται ακριβής γνώση των συναρτήσεων κατανομής τυχαίων μεταβλητών που σχετίζονται με ένα δεδομένο QS (διαστήματα μεταξύ άφιξης αιτημάτων και χρόνους εξυπηρέτησης στις συσκευές), αλλά μόνο γνώση της πρώτης (μαθηματικής προσδοκίας) και της δεύτερης (διακύμανση ή τετραγωνικός συντελεστής διακύμανσης - ΚΚΒ) οι ροπές αυτών των μεγεθών είναι αρκετές.

Η χρήση της προσέγγισης διάχυσης στην ανάλυση LAN βασίζεται στα ακόλουθα:

• Για κάθε τύπο αιτήσεων υπολογίζεται η ένταση παραλαβής των αιτήσεων αυτού του τύπουσε κόμβους δικτύου σαν να υπήρχε μόνο μία ροή αιτημάτων που κυκλοφορούσε στο δίκτυο.
• σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, ανάλογα με τον τύπο του QS και την πειθαρχία των υπηρεσιών, προστίθεται η ροή των αιτήσεων από όλες τις πηγές.
• σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, καθορίζεται ο μέσος χρόνος υπηρεσίας σε κάθε κόμβο LAN.
• οι λαμβανόμενες τιμές αντικαθίστανται στον αντίστοιχο τύπο διάχυσης και προσδιορίζονται τα χαρακτηριστικά των κόμβων LAN.
• καθορίζονται τα χαρακτηριστικά του LAN στο σύνολό του.

Η διατύπωση του προβλήματος της ανάλυσης LAN θα λάβει την ακόλουθη μορφή. Δεδομένος:

• αριθμός κόμβων LAN.
• τον τύπο κάθε κόμβου LAN (ο τύπος του QS που μοντελοποιεί αυτόν τον κόμβο).
• πειθαρχία υπηρεσιών σε κάθε κόμβο LAN.
• ο συνολικός αριθμός των τύπων πηγών εφαρμογών που λειτουργούν σε διαδραστική λειτουργία·
• ο συνολικός αριθμός των τύπων πηγών αιτημάτων που λειτουργούν σε μη λειτουργική κατάσταση·
• για διαδραστικές πηγές στην περίπτωση σύνθετου τρόπου λειτουργίας, ο αριθμός των τεχνολογικών διεργασιών κάθε τύπου, ο αριθμός των λειτουργιών σε κάθε τεχνολογική διαδικασία, ο μέσος όρος και ο χρόνος ΚΚΒ εκτέλεσης κάθε λειτουργίας, ο πίνακας πιθανοτήτων μετάδοσης μεταξύ των λειτουργιών, καθώς και η παρουσία ή απουσία πρόσβασης στο LAN σε κάθε λειτουργία.
• για διαδραστικές πηγές σε περίπτωση απλού τρόπου λειτουργίας, ο αριθμός των πηγών (τερματικών) κάθε τύπου, ο μέσος όρος και ο χρόνος ΚΚΒ της αντίδρασης του συνδρομητή στην απόκριση του δικτύου.
• για μη λειτουργικούς συνδρομητές - η μέση ένταση παραλαβής των αιτήσεων και ο χρόνος μεταξύ των παραλαβών των αιτήσεων. για κάθε τύπο αιτήματος (συνομιλητικό και μη διαδραστικό) η μέση ένταση της υπηρεσίας σε κάθε κόμβο LAN, ο χρόνος υπηρεσίας στους κόμβους LAN και ο πίνακας πιθανοτήτων μετάδοσης μεταξύ των κόμβων. Πρέπει να βρείτε:
• τη μέση τιμή και τη διασπορά (ή την τυπική απόκλιση) του χρόνου καθυστέρησης κάθε τύπου εφαρμογής στο τοπικό δίκτυο στο σύνολό του.
• ο μέσος όρος και η διακύμανση (ή η τυπική απόκλιση) της καθυστέρησης μεταξύ των κόμβων LAN.
• φόρτωση κόμβων LAN.
• πιθανότητα απώλειας ενός αιτήματος σε έναν κόμβο LAN (για κόμβους που μοντελοποιούνται από ένα QS με απώλειες).

Οι περιορισμοί μπορεί να είναι οι εξής:

η πιθανότητα απώλειας μιας αίτησης δεν πρέπει να υπερβαίνει το 1.

όλα τα χαρακτηριστικά πρέπει να είναι θετικά.

Μερικές φορές είναι ενδιαφέρον να προσδιοριστεί ένας τέτοιος δείκτης όπως ο μέγιστος χρόνος καθυστέρησης μιας εφαρμογής κάθε τύπου στο LAN. Ο μέγιστος χρόνος είναι ένας τέτοιος χρόνος, υπέρβαση του οποίου επιτρέπεται μόνο για ορισμένο, προκαθορισμένο ποσοστό εφαρμογών κάθε τύπου. Για τον προσδιορισμό του μέγιστου χρόνου, χρησιμοποιείται μια τεχνική που βασίζεται στην προσέγγιση της συνάρτησης διανομής χρόνου καθυστέρησης δικτύου με κατανομή Erlang ή υπερεκθετική και είναι απαραίτητο να καθοριστεί το μερίδιο (ποσοστό) των εφαρμογών για τις οποίες υπολογίζεται ο μέγιστος χρόνος.

4 – Βασικά στοιχεία της θεωρίας αναμονής.

Ορισμός 1. Ας υπάρχει κάποιο φυσικό σύστημαμικρό, το οποίο αλλάζει την κατάστασή του με την πάροδο του χρόνου (περνάει από τη μια κατάσταση στην άλλη) και με έναν προηγουμένως άγνωστο, τυχαίο τρόπο. Τότε θα το πούμε στο σύστημαμικρόλαμβάνει χώρα μια τυχαία διαδικασία.

Με το "φυσικό σύστημα" μπορείτε να κατανοήσετε οτιδήποτε: μια τεχνική συσκευή, μια επιχείρηση, έναν ζωντανό οργανισμό κ.λπ.

Παράδειγμα. μικρό – μια τεχνική συσκευή που αποτελείται από έναν αριθμό εξαρτημάτων που από καιρό σε καιρό αστοχούν, αντικαθίστανται ή αποκαθίστανται. Η διαδικασία που συμβαίνει στο σύστημα είναι τυχαία. Γενικά, αν το καλοσκεφτείς, είναι πιο δύσκολο να δώσεις ένα παράδειγμα «μη τυχαίας» διαδικασίας παρά τυχαίας. Ακόμη και η διαδικασία λειτουργίας ενός ρολογιού - ένα κλασικό παράδειγμα ακριβούς, αυστηρά επαληθευμένης εργασίας ("λειτουργεί σαν ρολόι") υπόκειται σε τυχαίες αλλαγές (προχωρώντας προς τα εμπρός, υστέρηση, διακοπή).

Ορισμός 2. Μια τυχαία διαδικασία που συμβαίνει σε ένα σύστημα ονομάζεται Μαρκοβιανή εάν για οποιαδήποτε στιγμή του χρόνουt 0 τα πιθανοτικά χαρακτηριστικά μιας διαδικασίας στο μέλλον εξαρτώνται μόνο από την κατάστασή της αυτή τη στιγμήt 0 και δεν εξαρτώνται από το πότε και πώς το σύστημα έφτασε σε αυτήν την κατάσταση.

Ας είναι στη στιγμήt 0 το σύστημα βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη κατάστασημικρό 0 . Παρατηρούμε τη διαδικασία από έξω και τη στιγμήt 0 γνωρίζουμε την κατάσταση του συστήματοςμικρό 0 και όλο το παρασκήνιο της διαδικασίας, όλα όσα συνέβησαν κατά τη διάρκειαt< t 0 . Εμείς φυσικά. Ενδιαφέρον για το μέλλον:t> t 0 . Μπορούμε να το προβλέψουμε; Ακριβώς - όχι. Η διαδικασία μας είναι τυχαία, επομένως απρόβλεπτη. Αλλά μπορούμε να βρούμε κάποια πιθανολογικά χαρακτηριστικά της διαδικασίας στο μέλλον. Για παράδειγμα, η πιθανότητα ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημαtσύστημα μικρόθα είναι σε θέσημικρό 1 ή να σώσει το κράτοςμικρό 0 και τα λοιπά.

Εάν η διαδικασία είναι Μαρκοβιανή, τότε είναι δυνατή η πρόβλεψη μόνο λαμβάνοντας υπόψη την τρέχουσα κατάσταση του συστήματοςμικρό 0 και ξεχνώντας την «προϊστορία» του (τη συμπεριφορά του συστήματος ότανt< t 0 ). Το ίδιο το κράτοςμικρό 0 , φυσικά, εξαρτάται από το παρελθόν, αλλά μόλις επιτευχθεί, το παρελθόν μπορεί να ξεχαστεί. Εκείνοι. στη διαδικασία Markov, «το μέλλον εξαρτάται από το παρελθόν μόνο μέσω του παρόντος».

Παράδειγμα. Σύστημα μικρό– ένας μετρητής Geiger, ο οποίος περιστασιακά χτυπιέται από κοσμικά σωματίδια. κατάσταση του συστήματος σε μια χρονική στιγμήtχαρακτηρίζεται από μετρήσεις - ο αριθμός των σωματιδίων που έχουν φτάσει μέχρι μια δεδομένη στιγμή. Αφήστε τη στιγμήt 0 μετρητής δείχνειμικρό 0 . Η πιθανότητα ότι αυτή τη στιγμήt> t 0 ο μετρητής θα δείχνει τον ένα ή τον άλλο αριθμό σωματιδίωνμικρό 1 (ή λιγότερο μικρό 1 ) εξαρτάται από μικρό 0 , αλλά δεν εξαρτάται ακριβώς από τις στιγμές που έφτασαν τα σωματίδια πριν από τη στιγμήt 0 .

Στην πράξη, συναντά κανείς συχνά διαδικασίες που, αν όχι ακριβώς Μαρκοβιανές, μπορούν να θεωρηθούν σε κάποια προσέγγιση ως Μαρκοβιανές. Για παράδειγμα,μικρό ­ - ομάδα αεροσκαφών που συμμετέχουν σε εναέριες μάχες. Η κατάσταση του συστήματος χαρακτηρίζεται από τον αριθμό των «κόκκινων» αεροσκαφών –xκαι "μπλε" - y, διατηρήθηκε (δεν καταρρίφθηκε) κάποια στιγμή. Αυτή τη στιγμήt 0 γνωρίζουμε τον αριθμό των κομμάτωνx 0 Και y 0 . Μας ενδιαφέρει η πιθανότητα ότι κάποια στιγμήt 0 + tη αριθμητική υπεροχή θα είναι με την πλευρά των «κόκκινων». Από τι εξαρτάται αυτή η πιθανότητα; Πρώτα απ 'όλα, εξαρτάται από την κατάσταση στην οποία βρίσκεται το σύστημα σε μια δεδομένη χρονική στιγμή.t 0 , και όχι για το πότε και σε ποια σειρά οι καταρριφθέντες πέθαναν μέχρι το σημείο του χρόνουt 0 αεροσκάφος.

Ουσιαστικά, οποιαδήποτε διαδικασία μπορεί να θεωρηθεί ως Μαρκοβιανή εάν όλες οι παράμετροι από το «παρελθόν» από το οποίο εξαρτάται το «μέλλον» μεταφερθούν στο «παρόν». Για παράδειγμα, ας μιλάμε γιασχετικά με τη λειτουργία κάποιας τεχνικής συσκευής. κάποια στιγμήt 0 εξακολουθεί να λειτουργεί και μας ενδιαφέρει η πιθανότητα να λειτουργήσει για κάποιο χρονικό διάστημαt. Αν απλώς θεωρήσουμε ότι «το σύστημα λειτουργεί σωστά» αυτή τη στιγμή, τότε η διαδικασία σίγουρα δεν είναι Μαρκοβιανή, επειδή η πιθανότητα να μην αποτύχει με τον καιρόt, εξαρτάται, γενικά, από το πόσο καιρό έχει ήδη δουλέψει και πότε έγινε η τελευταία επισκευή. Εάν και οι δύο αυτές παράμετροι (συνολικός χρόνος λειτουργίας και χρόνος από την επισκευή) περιλαμβάνονται στην τρέχουσα κατάσταση του συστήματος. Τότε η διαδικασία μπορεί να θεωρηθεί Μαρκοβιανή.

Ορισμός 3. Μια διεργασία λέγεται ότι έχει διακριτές καταστάσεις εάν υπάρχουν οι πιθανές καταστάσεις τηςμικρό 1 , μικρό 2 ,... μπορεί να καταχωρηθεί (αναριθμηθεί) εκ των προτέρων και η μετάβαση του συστήματος από κατάσταση σε κατάσταση πραγματοποιείται "σε ένα άλμα", σχεδόν αμέσως.

Ορισμός 4. Μια διεργασία ονομάζεται διεργασία με συνεχή χρόνο εάν οι στιγμές των πιθανών μεταβάσεων από κατάσταση σε κατάσταση δεν είναι προκαθορισμένες, αλλά είναι αβέβαιες, τυχαίες, εάν η μετάβαση μπορεί να συμβεί, κατ' αρχήν, ανά πάσα στιγμή.

Θα εξετάσουμε μόνο διαδικασίες με διακριτές καταστάσεις.

Παράδειγμα. Τεχνική συσκευήμικρόαποτελείται από δύο κόμβους. Καθένα από τα οποία μπορεί να αποτύχει (αποτυχία) σε μια τυχαία χρονική στιγμή, μετά την οποία αρχίζει αμέσως η επισκευή της μονάδας, η οποία επίσης συνεχίζεται για έναν άγνωστο, τυχαίο χρόνο.

Εικ.4.1

Πιθανές καταστάσεις του συστήματος:

μικρό 0 – και οι δύο μονάδες είναι λειτουργικές.

μικρό 1 – η πρώτη μονάδα επισκευάζεται, η δεύτερη είναι σε λειτουργία.

μικρό 2 – η δεύτερη μονάδα επισκευάζεται, η πρώτη είναι σε λειτουργία.

μικρό 3 – και οι δύο μονάδες επισκευάζονται.

Βέλος που δείχνει απόμικρό 0 V μικρό 1 σημαίνει τη στιγμή της αστοχίας του πρώτου κόμβου κλπ. Δεν υπάρχει βέλος από την κατάσταση στο σχήμαμικρό 0 σε μια κατάσταση μικρό 3 , αφού η πιθανότητα να αποτύχουν δύο συσκευές ταυτόχρονα τείνει στο μηδέν.

Ορισμός 5. Μια ροή γεγονότων είναι μια ακολουθία ομοιογενών γεγονότων που ακολουθούν το ένα μετά το άλλο σε ορισμένες τυχαίες χρονικές στιγμές (για παράδειγμα, μια ροή αστοχιών σε έναν υπολογιστή, μια ροή κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο).

Το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό της ροής των γεγονότων είναι η έντασή τηςμεγάλο– ο μέσος αριθμός γεγονότων ανά μονάδα χρόνου. η ένταση ροής μπορεί να είναι σταθερή (μεγάλο= συνθ), και μια μεταβλητή που εξαρτάται από το χρόνο. Για παράδειγμα, η ροή των αυτοκινήτων που κινούνται κατά μήκος του δρόμου είναι πιο έντονη κατά τη διάρκεια της ημέρας παρά τη νύχτα και η ροή των αυτοκινήτων από τις 14 έως τις 15 ώρες της ημέρας μπορεί να θεωρηθεί σταθερή.

Ορισμός 6. Η ροή των γεγονότων ονομάζεται κανονική εάν τα γεγονότα διαδέχονται το ένα το άλλο σε συγκεκριμένα, ίσα χρονικά διαστήματα.

Ορισμός 7. Μια ροή γεγονότων ονομάζεται ακίνητη εάν τα πιθανολογικά χαρακτηριστικά της δεν εξαρτώνται από το χρόνο. Ειδικότερα, η έντασημεγάλοη σταθερή ροή πρέπει να είναι σταθερή. Αυτό δεν σημαίνει ότι ο πραγματικός αριθμός γεγονότων που εμφανίζονται ανά μονάδα χρόνου είναι σταθερός - όχι, η ροή αναπόφευκτα (εκτός αν είναι κανονική) έχει κάποιες τυχαίες συμπυκνώσεις και σπάνιες. Είναι σημαντικό για μια σταθερή ροή αυτές οι συμπυκνώσεις και οι αραιώσεις να μην είναι κανονικής φύσης: ένα τμήμα μήκους 1 μπορεί να λάβει περισσότερα συμβάντα και ένα άλλο μπορεί να λάβει λιγότερα, αλλά ο μέσος αριθμός γεγονότων ανά μονάδα χρόνου είναι σταθερός και δεν εξαρτάται στην ώρα τους.

Για παράδειγμα, η ροή των κλήσεων που φτάνουν στο τηλεφωνικό κέντρο μεταξύ 13 και 14 ωρών. Σχεδόν ακίνητο, αλλά η ίδια ροή κατά τη διάρκεια της ημέρας δεν είναι πλέον ακίνητη.

Ορισμός 8. Μια ροή γεγονότων ονομάζεται ροή χωρίς επακόλουθο εάν για δύο μη επικαλυπτόμενες χρονικές περιόδουςt 1 Και t 2 ο αριθμός των γεγονότων που πέφτουν σε ένα από αυτά δεν εξαρτάται από το πόσα γεγονότα συμβαίνουν στο άλλο. Ουσιαστικά αυτό σημαίνει ότι τα γεγονότα που σχηματίζουν τη ροή εμφανίζονται σε συγκεκριμένες στιγμές ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, το καθένα που προκαλείται από τους δικούς του λόγους.

Για παράδειγμα, η ροή των επιβατών που εισέρχονται στο μετρό δεν έχει ουσιαστικά καμία επίπτωση. Ωστόσο, η ροή των πελατών που εγκαταλείπουν τον πάγκο με τα αγορασμένα αγαθά έχει ήδη μια μεταγενέστερη επίδραση (έστω και μόνο επειδή το χρονικό διάστημα μεταξύ των μεμονωμένων πελατών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από τον ελάχιστο χρόνο εξυπηρέτησης για καθέναν από αυτούς).

Ορισμός 9. Μια ροή γεγονότων ονομάζεται συνηθισμένη εάν τα γεγονότα εμφανίζονται σε αυτήν ένα προς ένα και όχι σε ομάδες ταυτόχρονα.

Για παράδειγμα, η ροή των πελατών προς τον οδοντίατρο είναι συνήθως συνηθισμένη. Η ροή των τρένων που πλησιάζουν τον σταθμό είναι συνηθισμένη, αλλά η ροή των αυτοκινήτων είναι εξαιρετική.

Ορισμός 10. Ένα ρεύμα γεγονότων ονομάζεται το απλούστερο (ή σταθερό Poisson) εάν έχει τρεις ιδιότητες ταυτόχρονα: σταθερό, συνηθισμένο και δεν έχει καμία επίπτωση, και η ίδια η ροή εισόδου κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson ( ).

Για περιγραφή τυχαία διαδικασία, που εμφανίζεται σε ένα σύστημα με διακριτές καταστάσειςμικρό 1 , μικρό 2 , ..., S nχρησιμοποιούν συχνά πιθανότητες κατάστασηςσελ 1 ( t),..., p n( t) , Πού σελ κ( t) – η πιθανότητα ότι τη στιγμή του χρόνουtτο σύστημα είναι σε κατάστασηS k. Πιθανότητες σελ κ( t) ικανοποιεί την προϋπόθεση: .

Εάν μια διεργασία που συμβαίνει σε ένα σύστημα με διακριτές καταστάσεις και συνεχή χρόνο είναι Μαρκοβιανή, τότε για τις πιθανότητες των καταστάσεωνσελ 1 ( t), ..., p n( t) μπορείτε να δημιουργήσετε ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Κατά τη σύνθεση αυτών των εξισώσεων, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε ένα γράφημα καταστάσεων συστήματος, στο οποίο, απέναντι σε κάθε βέλος που οδηγεί από κατάσταση σε κατάσταση, υποδεικνύεται η ένταση της ροής των γεγονότων που μετακινεί το σύστημα κατά μήκος του βέλους (Εικ. 4.2):

Εικ.4.2 μεγάλοij– ένταση της ροής των γεγονότων που μεταφέρει το σύστημα από το κράτοςS iσε μια κατάσταση S j. Κανόνας δημιουργίας συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων για την εύρεση πιθανοτήτων καταστάσεων. Για κάθε κατάσταση γράφεται η δική της εξίσωση. Στην αριστερή πλευρά κάθε εξίσωσης υπάρχει μια παράγωγος και στη δεξιά πλευρά υπάρχουν τόσοι όροι όσοι και τα βέλη που σχετίζονται άμεσα με μια δεδομένη κατάσταση. αν το βέλος δείχνει σε αυτό το κράτος, τότε ο όρος έχει πρόσημο «+», διαφορετικά έχει πρόσημο «–». Κάθε όρος είναι ίσος με την ένταση της ροής των γεγονότων που κινεί το σύστημα κατά μήκος ενός δεδομένου βέλους, πολλαπλασιαζόμενη με την πιθανότητα της κατάστασης από την οποία αναδύεται το βέλος. Οτι. το σύστημα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων στην περίπτωσή μας έχει τη μορφή:

Οι αρχικές συνθήκες για την ενσωμάτωση ενός τέτοιου συστήματος αντικατοπτρίζουν την κατάσταση του συστήματος κατά την αρχική στιγμή. Αν, για παράδειγμα, το σύστημαt=0 μπόρεσεS k, Αυτό . Αυτές οι εξισώσεις μπορούν να λυθούν αναλυτικά, αλλά αυτό είναι βολικό μόνο όταν ο αριθμός των εξισώσεων δεν υπερβαίνει τις δύο (μερικές φορές τρεις). Στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότερες εξισώσεις, χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι.

Τι θα γίνει με τις πιθανότητες κατάστασης στο ; Θα υπάρξεισελ 1 ( t), ..., p n( t) αγωνίζεσαι για κάποια όρια; Εάν αυτά τα όρια υπάρχουν και δεν εξαρτώνται από την αρχική κατάσταση του συστήματος, τότε ονομάζονται πιθανότητες τελικής κατάστασης: . p i– μέσος σχετικός χρόνος παραμονής του συστήματοςεγώ-η συνθήκη.

Πώς να βρείτε τις τελικές πιθανότητες; Γιατί τα πάνταp i= συνθ, τότε οι παράγωγοι στην αριστερή πλευρά κάθε εξίσωσης είναι ίσες με μηδέν. Οτι. έχουμε αποκτήσει ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Δεδομένου ότι καμία εξίσωση σε αυτό το σύστημα δεν έχει ελεύθερο όρο, το σύστημα είναι εκφυλισμένο (δηλαδή, όλες οι μεταβλητές θα εκφραστούν μέσω μιας). Για να αποφευχθεί αυτό, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τη συνθήκη κανονικοποίησης (), οπότε οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να απορριφθεί.

Ταξινόμηση συστημάτων αναμονής

Με βάση τον αριθμό των συσκευών σέρβις, τα συστήματα QS χωρίζονται σε μονοκάναλα και πολυκάναλα. Το πολυκαναλικό QS αποτελείται από πολλές συσκευές και καθεμία από αυτές μπορεί να εξυπηρετήσει ένα αίτημα.

Τα συστήματα QS χωρίζονται επίσης σε συστήματα χωρίς αναμονή και με αναμονή. Πρώτον, μια εφαρμογή φεύγει από την ουρά αν, τη στιγμή της άφιξής της, δεν υπάρχει τουλάχιστον ένα κανάλι που να μπορεί να ξεκινήσει αμέσως την εξυπηρέτηση αυτής της εφαρμογής. Τα τελευταία, με τη σειρά τους, χωρίζονται σε συστήματα χωρίς περιορισμούς και με περιορισμούς στο μήκος της ουράς.

Τα QS χωρίζονται επίσης σε συστήματα με και χωρίς προτεραιότητες. Με τη σειρά τους, τα συστήματα με προτεραιότητα χωρίζονται σε QS με και χωρίς διακοπή.

Μονοκάναλο QS με απεριόριστη ουρά

Εικ.4.3

Ας βρούμε τις πιθανότητεςσελ κ:

Για το κράτος μικρό 0 : , από εδώ ;

Για το κράτος μικρό 1 n: , αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτεισελ 1 : . Ομοίως,.

Πιθανότητα σελ 0 βρίσκουμε από την συνθήκη κανονικοποίησης:

, – γεωμετρική πρόοδος, μεr<1 συγκλίνει. – η πιθανότητα να μην υπάρχουν εφαρμογές.

– η πιθανότητα η συσκευή να είναι απασχολημένη με την εξυπηρέτηση ενός αιτήματος.r= μεγάλο/ m– μέτρο φορτίου μονοκάναλου QS.

Την τρέχουσα χρονική στιγμή μπορεί να υπάρχουν 0, 1, 2, ...,κ, ... παραγγελίες με πιθανότητεςσελ 0 , σελ 1 σελ 2 , ... Μαθηματική προσδοκία του αριθμού των αιτήσεων:

λαμβάνοντας υπόψη ότι , παίρνουμε:

Το μέσο μήκος ουράς είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του μέσου αριθμού εφαρμογών στο σύστημα και του μέσου αριθμού εφαρμογών υπό υπηρεσία: .

Οι φόρμουλες του Little

Εικ.4.4

Ο πρώτος τύπος του Little σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε τον χρόνο αντίδρασης του QS (ο χρόνος που η εφαρμογή παραμένει στο σύστημα).

Αφήνω Χ( t) – τον ​​αριθμό των αιτήσεων που έλαβε η QS μέχρι τη στιγμήt, Υ( t) – όσοι αποχώρησαν πριν από τον ΚΟΑ t . Και οι δύο λειτουργίες είναι τυχαίες και αυξάνονται κατά ένα άλμα τις στιγμές άφιξης και αναχώρησης των αιτημάτων. Στη συνέχεια, ο αριθμός των εφαρμογών στο σύστημα κάθε φοράtμπορεί να οριστεί ως: . Σκεφτείτε ένα πολύ μεγάλο χρονικό διάστημαΤ και να υπολογίσετε τον μέσο αριθμό εφαρμογών στο σύστημα:

.

Το ολοκλήρωμα είναι ίσο με το εμβαδόν του κλιμακωτού σχήματος που οριοθετείται από τις συναρτήσειςΧ( t) Και Υ( t) , αυτό το άθροισμα αποτελείται από ορθογώνια των οποίων το πλάτος είναι ίσο με ένα και των οποίων το μήκος είναι ίσο με το χρόνο παραμονήςεγώ-η εφαρμογή στο σύστημα. Το ποσό ισχύει για όλες τις αιτήσεις που ελήφθησαν στο σύστημα κατά τη διάρκειαΤ. Πολλαπλασιάστε τη δεξιά πλευρά και διαιρέστε μεμεγάλο: . Τμεγάλο– μέσος αριθμός αιτήσεων που ελήφθησαν με την πάροδο του χρόνουΤ. Διαιρώντας το άθροισμα όλων των εποχώνt iαπό τον μέσο αριθμό εφαρμογών, λαμβάνουμε τον μέσο χρόνο που μια εφαρμογή παραμένει στο σύστημα: .

Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, μπορείτε να λάβετε τον μέσο χρόνο που ξοδεύει μια εφαρμογή στην ουρά: .

Πολυκαναλικό QS με απεριόριστη ουρά

Εικ.4.5

Ας βρούμε τις πιθανότητεςσελ κ:

Για το κράτος μικρό 0 : ;

Για τα κράτη μικρό 1 – S n: ;

Για S n +1 : ; ...

Για S n+s-1: ;

Για S n+s: .

Από το πρώτο ν +1 εξισώσεις παίρνουμε:

Από την τελευταία εξίσωση εκφράζουμε: και αντικαθιστούμε στην προτελευταία: , . Τότε .

Συνεχίζοντας την αναλογία: .

Τώρα ας βρούμε σελ 0 , αντικαθιστώντας τις παραστάσεις που προκύπτουν στη συνθήκη κανονικοποίησης (): . Από εδώ .

Δείκτες απόδοσης του QS

– Πιθανότητα απώλειας απαίτησης στο QS. Χρησιμοποιείται ιδιαίτερα συχνά κατά τη μελέτη στρατιωτικών θεμάτων. Για παράδειγμα, κατά την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας της αεράμυνας ενός αντικειμένου, χαρακτηρίζει την πιθανότητα εναέριων στόχων να διαρρήξουν το αντικείμενο. Σε σχέση με ένα QS με απώλειες, ισούται με την πιθανότητα να είσαι απασχολημένος με την εξυπηρέτηση των απαιτήσεων όλωνnσυσκευές συστήματος. Τις περισσότερες φορές αυτή η πιθανότητα υποδηλώνεταιp nή σελανοιχτό.

– Πιθανότητα ότι το σύστημα είναι απασχολημένο με την εξυπηρέτηση των απαιτήσεωνκσυσκευές ισούται με σελ κ.

– Μέσος αριθμός κατειλημμένων συσκευών: χαρακτηρίζει τον βαθμό φορτίου του συστήματος σέρβις.

– Μέσος αριθμός συσκευών χωρίς συντήρηση: .

– Ποσοστό διακοπής λειτουργίας συσκευής: .

– Ποσοστό πληρότητας εξοπλισμού: .

– Μέσο μήκος ουράς: , σελ κ- την πιθανότητα που περιέχει το σύστημακαπαιτήσεις.

– Μέσος αριθμός εφαρμογών σε υπηρεσία: .

– Η πιθανότητα ο αριθμός των εφαρμογών στην ουρά που περιμένουν να ξεκινήσει η υπηρεσία είναι μεγαλύτερος από έναν ορισμένο αριθμόm: . Αυτός ο δείκτης είναι ιδιαίτερα απαραίτητος κατά την αξιολόγηση της δυνατότητας τοποθέτησης απαιτήσεων όταν ο χρόνος αναμονής είναι περιορισμένος.

Εκτός από τα αναφερόμενα κριτήρια, μπορούν να χρησιμοποιηθούν δείκτες κόστους κατά την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας ενός QS:

qγια– το κόστος εξυπηρέτησης κάθε απαίτησης στο σύστημα·

qδροσερός– το κόστος των απωλειών που σχετίζονται με τις αδρανείς εφαρμογές στην ουρά ανά μονάδα χρόνου·

qστο– απώλειες που σχετίζονται με την έξοδο από το σύστημα αιτήσεων·

q k– κόστος λειτουργίας κάθε συσκευής ανά μονάδα χρόνου·

q kpr– κόστος διακοπής λειτουργίας ανά μονάδα χρόνουκη συσκευή του συστήματος.

Όταν επιλέγετε τις βέλτιστες παραμέτρους QS με βάση οικονομικούς δείκτες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση κόστους των απωλειών στο σύστημα (για QS με αναμονή):Τ– χρονικό διάστημα.

Για QS με βλάβες: .

Για μικτά: .

Κριτήριο για την οικονομική αποδοτικότητα μιας ΚΟΑ: , Με– οικονομικό αποτέλεσμα που επιτυγχάνεται κατά την εξυπηρέτηση κάθε εφαρμογής.

Σύστημα αναμονής κλειστού τύπου

Παράδειγμα. C1, C2, C3 – μηχανές. NC – κεντρική αποθήκευση.σι - χειριστής. Το καρότσι μεταφοράς (χειριστής) μεταφέρει το χρησιμοποιημένο εξάρτημα από το μηχάνημα στη μονάδα αποθήκευσης και το τοποθετεί εκεί, παραλαμβάνει ένα νέο εξάρτημα (τεμάχιο εργασίας), το μεταφέρει στη μηχανή και το τοποθετεί στη θέση εργασίας για σύσφιξη. Καθ' όλη την περίοδο που απαιτείται για την εκφόρτωση και τη φόρτωση, το μηχάνημα είναι σε αδράνεια. ΦοράΤηαλλαγή του τεμαχίου είναι ο χρόνος σέρβις.

Η ένταση συντήρησης του μηχανήματος ορίζεται ως , – ο μέσος χρόνος συντήρησης του μηχανήματος, ο οποίος υπολογίζεται ως , Πούn– αριθμός αιτήσεων. Ο ρυθμός με τον οποίο ένα μηχάνημα υποβάλλει αίτημα για σέρβις ορίζεται ως (όπου είναι ο μέσος χρόνος για την επεξεργασία ενός εξαρτήματος από το μηχάνημα).

Το σύστημα μηχανής με χειριστή μονής λαβής είναι ένα σύστημα αναμονής με εσωτερική οργάνωση FIFO : κάθε αίτημα του μηχανήματος για σέρβις ικανοποιείται στην περίπτωση που ο χειριστής είναι απασχολημένος, το αίτημα βρίσκεται στην ουρά και το μηχάνημα περιμένει να απελευθερωθεί. Αυτή η διαδικασία είναι Μαρκοβιανή, δηλ. τυχαία έκδοση αιτήματος υπηρεσίας σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμήt 0 δεν εξαρτάται από προηγούμενες εφαρμογές, δηλ. από την πορεία της διαδικασίας την προηγούμενη περίοδο. Η διάρκεια εκτέλεσης μιας εφαρμογής μπορεί να ποικίλλει και είναι μια τυχαία μεταβλητή που δεν εξαρτάται από τον αριθμό των αιτήσεων που υποβάλλονται. Η όλη διαδικασία δεν εξαρτάται από το τι συνέβη πριν από το χρονικό σημείοt 0 .

Σε ένα σύστημα εργαλειομηχανών, ο αριθμός των αιτημάτων σέρβις μπορεί να είναι 0, 1, 2, ...m, Πού m– συνολικός αριθμός μηχανών. Τότε είναι δυνατές οι ακόλουθες καταστάσεις:

μικρό 0 – όλα τα μηχανήματα δουλεύουν, ο χειριστής στέκεται.

μικρό 1 – όλα τα μηχανήματα εκτός από ένα λειτουργούν, ο χειριστής συντηρεί το μηχάνημα από το οποίο ελήφθη το αίτημα για αλλαγή τεμαχίων εργασίας.

μικρό 2 - εργασία m-2 μηχανή, ένα τεμάχιο εργασίας αλλάζει σε ένα μηχάνημα, το άλλο περιμένει.

μικρό 3 - εργασία m-2 μηχανή, ένα μηχάνημα εξυπηρετείται από χειριστή, δύο μηχανές περιμένουν στην ουρά.

S m– όλα τα μηχανήματα είναι όρθια, ένα εξυπηρετείται από χειριστή, τα υπόλοιπα περιμένουν στην ουρά για την εκτέλεση της παραγγελίας.

Εικ.4.6.

Πιθανότητα μετάβασης στην κατάστασηS kαπό μια από τις πιθανές πολιτείεςμικρό 1 , μικρό 2 , ... S mεξαρτάται από την τυχαία παραλαβή των αιτημάτων υπηρεσίας και υπολογίζεται ως:

σελ 0 είναι η πιθανότητα να λειτουργούν όλα τα μηχανήματα.

Ο χειριστής λειτουργεί κάτω από καταστάσεις συστήματος απόμικρό 1 να S m­ . Τότε η πιθανότητα φόρτωσής του είναι ίση με: .

Ο αριθμός των μηχανών στην ουρά σχετίζεται με τις καταστάσειςμικρό 2 , – S m, ενώ ένα μηχάνημα υποβάλλεται σε σέρβις, και (κ -1) – αναμονή. Στη συνέχεια, ο μέσος αριθμός μηχανών στην ουρά: .

Ποσοστό διακοπής λειτουργίας ενός μηχανήματος (λόγω αναμονής κατά τη συντήρηση πολλών μηχανών): .

Μέση χρήση ενός μηχανήματος:

Εφαρμογή της μεθόδου Monte Carlo για την επίλυση προβλημάτων,

που σχετίζονται με τη θεωρία της ουράς

Για να περιγράψουμε τη ροή ομοιογενών γεγονότων, αρκεί να γνωρίζουμε τον νόμο κατανομής των στιγμών του χρόνου t 1 , t 2 , ..., tk, ..., στα οποία φτάνουν τα γεγονότα.

Για τη διευκόλυνση περαιτέρω εκτιμήσεων, συνιστάται η χρήση των ποσοτήτωνt 1 , t 2 , ..., μεταβείτε σε τυχαίες μεταβλητέςz 1 , z 2 , ..., zm, ... με τέτοιο τρόπο ώστε:

Τυχαίες μεταβλητέςzκείναι τα μήκη των χρονικών διαστημάτων μεταξύ διαδοχικών στιγμώνtk.

Σύνολο τυχαίων μεταβλητώνzεγώθεωρείται δεδομένη εάν η συνάρτηση κοινής κατανομής ορίζεται: . Συνήθως λαμβάνονται υπόψη μόνο συνεχείς τυχαίες μεταβλητέςzκ, επομένως χρησιμοποιείται συχνά η αντίστοιχη συνάρτηση πυκνότηταςφά( z 1 , z 2 ,..., z k) .

Τυπικά, η θεωρία QS εξετάζει ροές ομοιογενών γεγονότων χωρίς επακόλουθα, για τα οποία οι τυχαίες μεταβλητέςzκανεξάρτητος. Γι' αυτό . Λειτουργίεςf i( z i) στο εγώ>1 αντιπροσωπεύουν συναρτήσεις πυκνότητας υπό όρους υπό τον όρο ότι στην αρχική στιγμή του διαστήματοςzκ ( εγώ>1) έχει ληφθεί αίτηση. Αντίθετα, η συνάρτησηφά 1 ( z 1 ) είναι μια άνευ όρων συνάρτηση της πυκνότητας, επειδή Δεν γίνονται υποθέσεις σχετικά με την εμφάνιση ή τη μη εμφάνιση της αίτησης κατά την αρχική στιγμή.

Οι λεγόμενες σταθερές ροές χρησιμοποιούνται ευρέως, για τις οποίες το πιθανό καθεστώς τους δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου (δηλ. η πιθανότητα εμφάνισηςκαιτήσεις για ένα χρονικό διάστημα (t 0 , t 0 + t) δεν εξαρτάται από t 0 , αλλά εξαρτάται μόνο απόt Και κ). Για σταθερές ροές χωρίς επιπτώσεις, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

όπου λ – σταθερή πυκνότητα ροής.

Μια αίτηση που λαμβάνεται στο σύστημα μπορεί να καταλαμβάνει μόνο δωρεάν γραμμές. Μπορούν να γίνουν διάφορες υποθέσεις σχετικά με τη σειρά με την οποία καταλαμβάνονται οι γραμμές:

α) οι γραμμές ενεργοποιούνται με τη σειρά των αριθμών τους. Μια γραμμή με μεγαλύτερο αριθμό δεν μπορεί να εμπλακεί στην εξυπηρέτηση μιας εφαρμογής εάν υπάρχει δωρεάν γραμμή με μικρότερο αριθμό.

β) οι γραμμές πραγματοποιούνται με σειρά προτεραιότητας. Η εκκενωμένη γραμμή μπαίνει στην ουρά και δεν ξεκινά την εξυπηρέτηση των αιτημάτων μέχρι να εξαντληθούν όλες οι γραμμές που είχαν εκκενωθεί προηγουμένως.

γ) οι γραμμές δεσμεύονται με τυχαία σειρά σύμφωνα με τις δεδομένες πιθανότητες. Εάν κατά τη στιγμή της παραλαβής της επόμενης αίτησης υπάρχειnΑγ.ελεύθερες γραμμές, τότε στην απλούστερη περίπτωση η πιθανότητα να καταλάβει μια συγκεκριμένη γραμμή μπορεί να ληφθεί ίση με . Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις η πιθανότηταθεωρείται ότι εξαρτώνται από τους αριθμούς των γραμμών, τη στιγμή της απελευθέρωσής τους και άλλες παραμέτρους.

Παρόμοιες υποθέσεις μπορούν να γίνουν σχετικά με τη σειρά αποδοχής αιτήσεων για επίδοση στην περίπτωση που σχηματίζεται ουρά αιτήσεων στο σύστημα:

α) οι αιτήσεις γίνονται δεκτές για επίδοση με σειρά προτεραιότητας. Η ελευθερωμένη γραμμή αρχίζει να εξυπηρετεί το αίτημα που εισήλθε στο σύστημα νωρίτερα από κάποια άλλη.

β) οι αιτήσεις γίνονται δεκτές για επίδοση σύμφωνα με τον ελάχιστο χρόνο που απαιτείται για τη λήψη άρνησης. Η δωρεάν γραμμή ξεκινά την εξυπηρέτηση του αιτήματος που μπορεί να απορριφθεί στο συντομότερο δυνατό χρονικό διάστημα.

γ) οι αιτήσεις γίνονται δεκτές για επίδοση με τυχαία σειρά σύμφωνα με καθορισμένες πιθανότητες. Αν τη στιγμή που κυκλοφορεί η γραμμή υπάρχειmαιτήματα στην ουρά, τότε στην απλούστερη περίπτωση η πιθανότητα επιλογής ενός συγκεκριμένου αιτήματος για σέρβις μπορεί να ληφθεί ίση μεq=1/ m. Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις η πιθανότηταq 1 , q 2 ,..., q mθεωρούνται ότι εξαρτώνται από το χρόνο παραμονής της αίτησης στο σύστημα, τον χρόνο που απομένει πριν από τη λήψη άρνησης και άλλες παραμέτρους.

· Για την επίλυση ορισμένων εφαρμοζόμενων προβλημάτων, αποδεικνύεται ότι είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη αυτά σημαντικός παράγοντας, ως αξιοπιστία των στοιχείων του συστήματος εξυπηρέτησης. Θα υποθέσουμε ότι από την άποψη της αξιοπιστίας, κάθε γραμμή σε μια δεδομένη στιγμή μπορεί να είναι είτε επισκευή είτε ελαττωματική. Η αξιοπιστία της γραμμής καθορίζεται από την πιθανότητα λειτουργίας χωρίς αστοχίαR= R( t) , καθορίζεται ως συνάρτηση του χρόνου. Θα υποθέσουμε επίσης ότι μια γραμμή που έχει αποτύχει λόγω ελλιπούς αξιοπιστίας μπορεί να τεθεί σε λειτουργία (επισκευή), η οποία απαιτεί χρόνοtσελ. Μέγεθος tσελθα τη θεωρήσουμε τυχαία μεταβλητή με δεδομένο νόμο κατανομής.

Μπορούν να γίνουν διάφορες υποθέσεις σχετικά με την τύχη μιας αίτησης κατά την εξυπηρέτηση της οποίας η γραμμή αποτυγχάνει: η αίτηση απορρίπτεται. η εφαρμογή παραμένει στο σύστημα (με συνολικό χρόνο που δαπανάται στο σύστημα όχι περισσότερο απόtn) ως αιτών για υπηρεσία εκτός σειράς· η εφαρμογή μπαίνει στην ουρά και εξυπηρετείται σε γενική βάση κ.λπ.

Η ουσία της μεθόδου στατιστικής δοκιμής όπως εφαρμόζεται στα προβλήματα ουράς είναι η εξής. Κατασκευάζονται αλγόριθμοι με τη βοήθεια των οποίων είναι δυνατή η ανάπτυξη τυχαίων υλοποιήσεων δεδομένων ροών ομοιογενών γεγονότων, καθώς και η «μοντελοποίηση» των διαδικασιών λειτουργίας των συστημάτων υπηρεσιών. Αυτοί οι αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται για την επανειλημμένη αναπαραγωγή εφαρμογών μιας τυχαίας διαδικασίας υπηρεσίας κάτω από σταθερές συνθήκες προβλημάτων. Οι πληροφορίες που λαμβάνονται για τις καταστάσεις της διαδικασίας υπόκεινται σε στατιστική επεξεργασία για σκοπούς αξιολόγησης, οι οποίες αποτελούν δείκτες ποιότητας της υπηρεσίας.

Η μέθοδος των στατιστικών δοκιμών καθιστά δυνατή την πληρέστερη, σε σύγκριση με τους ασυμπτωτικούς τύπους, μελέτη της εξάρτησης της ποιότητας της υπηρεσίας από τα χαρακτηριστικά της ροής των αιτημάτων και τις παραμέτρους του συστήματος εξυπηρέτησης.

Αυτό επιτυγχάνεται λόγω δύο περιστάσεων. Πρώτον, κατά την επίλυση προβλημάτων της θεωρίας ουρών με χρήση της μεθόδου των στατιστικών δοκιμών, μπορούν να χρησιμοποιηθούν πιο εκτενείς πληροφορίες για τη διαδικασία από ό,τι συνήθως με τη χρήση αναλυτικών μεθόδων.

Από την άλλη πλευρά, οι τιμές των δεικτών ποιότητας υπηρεσιών που λαμβάνονται από ασυμπτωτικούς τύπους, αυστηρά μιλώντας, αναφέρονται σε χρονικά σημεία αρκετά μακριά από την αρχή της διαδικασίας. Στην πραγματικότητα, για χρονικές στιγμές κοντά στην έναρξη της διαδικασίας, όταν το σταθερό καθεστώς δεν έχει φτάσει ακόμη, οι τιμές των δεικτών ποιότητας της υπηρεσίας στη γενική περίπτωση διαφέρουν σημαντικά από τις ασυμπτωτικές τιμές. Η μέθοδος των στατιστικών δοκιμών καθιστά δυνατή τη μελέτη των παροδικών καθεστώτων με επαρκή λεπτομέρεια.

Για πολλά εφαρμοσμένα προβλήματα, οι υποθέσεις βάσει των οποίων οι αναλυτικοί τύποι είναι έγκυροι αποδεικνύονται υπερβολικά περιοριστικές. Κατά την επίλυση προβλημάτων με τη χρήση στατιστικών δοκιμών, ορισμένες υποθέσεις μπορούν να εξασθενήσουν σημαντικά.

Πρώτα απ 'όλα, αυτό ισχύει για πολυφασική υπηρεσία (δηλαδή, θεωρούνται συστήματα υπηρεσιών που αποτελούνται από πολλές διαδοχικά λειτουργικές, γενικά μη ομοιόμορφες μονάδες).

Μια άλλη σημαντική γενίκευση του προβλήματος είναι η υπόθεση για τη φύση της ροής των αιτημάτων που φθάνουν για εξυπηρέτηση. Είναι δυνατό να ληφθούν υπόψη ροές ομοιογενών γεγονότων με έναν σχεδόν αυθαίρετο νόμο διανομής. Η τελευταία περίσταση αποδεικνύεται σημαντική για τους εξής δύο λόγους. Πρώτον, οι πραγματικές ροές εφαρμογής σε ορισμένες περιπτώσεις διαφέρουν σημαντικά από τις απλούστερες. Για να εξηγήσουμε τον δεύτερο λόγο, ας υποθέσουμε ότι η αρχική ροή των εφαρμογών προσεγγίζεται με αρκετή ακρίβεια από την απλούστερη ροή. Ταυτόχρονα, η ροή των αιτήσεων που εξυπηρετούνται σε πρώτη φάση, αυστηρά μιλώντας, δεν θα είναι πλέον η απλούστερη. Εφόσον η ροή που είναι η έξοδος για την πρώτη φάση θα είναι η ροή εισόδου για τις αιτήσεις εξυπηρέτησης της μονάδας στη δεύτερη φάση, ερχόμαστε και πάλι στο πρόβλημα των ροών εξυπηρέτησης που δεν είναι οι απλούστερες.

· Δομή του αλγορίθμου προσομοίωσης

διαδικασία εξυπηρέτησης αιτήσεων

Ας εξετάσουμε ένα μονοφασικό σύστημα QS που έχειnγραμμές που λαμβάνουν αιτήματα σε τυχαίους χρόνουςt i. Εάν κατά τη στιγμή της παραλαβής της αίτησης υπάρχουν διαθέσιμες δωρεάν γραμμές (ο αριθμός τουςnΑγ.), η εφαρμογή παίρνει ένα από αυτά για λίγοtσελ. Διαφορετικά, η εφαρμογή παραμένει στο σύστημα μέχριtnεν αναμονή για σέρβις. Στο τ t Ανάλογα με το χρόνο αναμονής, ορισμένες γραμμές μπορεί να γίνουν δωρεάν (ο αριθμός τουςm), και σε αυτή την περίπτωση θα είναι δυνατή η εξυπηρέτηση της εφαρμογής. Αν πριν από την ώραtnκαμία από τις γραμμές δεν κυκλοφορεί (m=0 ), η αίτηση απορρίπτεται.

Θα υποθέσουμε ότι λόγω της ανεπαρκώς υψηλής αξιοπιστίας του συστήματος, οι γραμμές που εξυπηρετούν το αίτημα ενδέχεται να αποτύχουν, τότε το αίτημα απορρίπτεται και η γραμμή μπορεί να επισκευαστεί μετά από κάποιο χρονικό διάστημα. t πεμ τεθεί σε λειτουργία.

Για τη μελέτη της ποιότητας εξυπηρέτησης των αιτημάτων, παρέχεταιΝ * πολλαπλή μοντελοποίηση της διαδικασίας λειτουργίας του συστήματος στο διάστημα (0, Τ) . Κατά τη διαδικασία μοντελοποίησης, ο αριθμός των ερευνηθέντων υλοποιήσεων θα συμβολίζεται μεΝ.

Αλγόριθμος:

1. Η στιγμή καθορίζεταιt iπαραλαβή της επόμενης αίτησης στο σύστημα.

2. Αν t i< Τ, μετά πηγαίνετε στο βήμα 3, διαφορετικά μεταβείτε στο βήμα 11.

3. Έλεγχος της δυνατότητας εξυπηρέτησης του ληφθέντος αιτήματος: ανnΑγ.>0 , μετά πηγαίνετε στο βήμα 4, διαφορετικά - στο βήμα 12. (Η τιμή του χρόνου παραλαβής της αίτησηςt iσε σύγκριση με tosvγια όλες τις γραμμές, δηλ. αποκαλύπτονται ελεύθερες γραμμές.)

4.Αν nΑγ.>1 , μετά πηγαίνετε στο βήμα 5, διαφορετικά πηγαίνετε στο βήμα 6.

5. Ο αριθμός δωρεάν γραμμής επιλέγεται σύμφωνα με ειδικούς κανόνες.

6. Εκχωρείται η επιλεγμένη γραμμή.

7. Ελέγξτε: υπάρχει διακοπή σέρβις λόγω ανεπαρκούς αξιοπιστίας; Εάν ναι, τότε μεταβείτε στο βήμα 8, διαφορετικά - στο βήμα 10.

8. Χρονομέτρησηtremεπισκευή μιας σπασμένης γραμμής (tremέχει ορισμένο νόμο διανομής).

9. Νανοιχτό= Νανοιχτό+1 . Μεταβείτε στο βήμα 1.

10. Προσδιορισμός απασχολημένου χρόνουtηη γραμμή που έχει εκχωρηθεί για την εξυπηρέτηση του αιτήματος (μια ορισμένη τυχαία μεταβλητή με συγκεκριμένο νόμο κατανομής) και ο χρόνος απελευθέρωσης της γραμμής:tosv= t i+ tη. Προχωρήστε στην επόμενη εφαρμογή (βήμα 1).

11. Έλεγχος: ανΝ< Ν * , Αυτό Ν= Ν+1 και πηγαίνετε στο βήμα 1, διαφορετικά - επεξεργασία των αποτελεσμάτων του πειράματος και το τέλος.

12. Προσδιορίστε:

Α) χρόνος tnπαραμονή της εφαρμογής στο σύστημα·

Β) αριθμός ελεύθερων καναλιώνmεγκαίρως tn.

13. Αν m>0 , μετά πηγαίνετε στο βήμα 14, διαφορετικά πηγαίνετε στο βήμα 9.

14. Αν m>1 , μετά πηγαίνετε στο βήμα 15, διαφορετικά πηγαίνετε στο βήμα 6.

15. Επιλέξτε μια συγκεκριμένη γραμμή σύμφωνα με τους αποδεκτούς κανόνες και μεταβείτε στο βήμα 6.

Ένα σύστημα ουράς (QS) είναι ένα αντικείμενο στο οποίο εκτελείται μια ακολουθία πράξεων. Το σύστημα μπορεί να εκτελέσει έναν πεπερασμένο αριθμό λειτουργιών διαφόρων τύπων. Το στοιχείο του συστήματος στο οποίο πραγματοποιούνται λειτουργίες ονομάζεται συσκευή εξυπηρέτησης. Η φυσική και αλγοριθμική ουσία των πράξεων αγνοείται.

Οι λειτουργίες εκτελούνται σε συσκευές κατόπιν αιτήματος. Οι εφαρμογές μπορεί να είναι εξωτερικές (είσοδος στο σύστημα από έξω) και εσωτερικές (που προκύπτουν στο τέλος της λειτουργίας). Ενδέχεται να προκύψουν ουρές εφαρμογών στο QS. Η ουρά είναι μια συλλογή από αιτήματα που αναμένουν εξυπηρέτηση όταν η συσκευή είναι απασχολημένη.

Με βάση τον αριθμό των συσκευών σέρβις, τα συστήματα QS χωρίζονται σε μονοκάναλα και πολυκάναλα (Εικ. 2.1.).

Ρύζι. 2.1. α – μονοκάναλο QS. β – πολυκαναλικό QS

Στο πολυκαναλικό QS, κάθε συσκευή μπορεί να εξυπηρετήσει ένα αίτημα. Τα κανάλια μπορεί να έχουν τις ίδιες ή διαφορετικές παραμέτρους υπηρεσίας. Οι κανόνες για τον καθορισμό της διάρκειας της υπηρεσίας, τη δυνατότητα διακοπής της υπηρεσίας, τα αιτήματα εκ νέου σέρβις μετά την ολοκλήρωση της διακοπής ή μετά την επαναφορά μιας συσκευής που έχει αποτύχει ονομάζονται συνήθως πειθαρχία εξυπηρέτησης.
Σε πολλές περιπτώσεις, τα μοντέλα αεροσκαφών μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένα σύνολο διασυνδεδεμένων συσκευών εξυπηρέτησης με ουρές (συστήματα αναμονής), στις οποίες τα αιτήματα μετακινούνται από τη μια συσκευή στην άλλη με μια ορισμένη πιθανότητα. Ένα τέτοιο σύνολο συστημάτων αναμονής (QS) ονομάζεται δίκτυο ουράς. Η συσκευή της θεωρίας αναμονής χρησιμοποιείται ευρέως για τη δημιουργία μοντέλων απόδοσης αεροσκαφών. Περιμένετε τη στιγμή που θα απελευθερωθούν οι πόροι που καταλαμβάνονται από την εξυπηρέτηση άλλων, για παράδειγμα, εφαρμογές που έχουν ληφθεί προηγουμένως, επομένως, τα δίκτυα των συστημάτων αναμονής ονομάζονται συχνά δίκτυα ουράς.

Το δίκτυο ουράς καθορίζεται από το ακόλουθο σύνολο παραμέτρων:

1. παράμετροι πηγής παραγγελίας.
2. μια δομή που καθορίζει τη διαμόρφωση των συνδέσεων και την πιθανότητα μεταφοράς αιτημάτων μεταξύ κόμβων δικτύου.
3. παράμετροι κόμβων δικτύου (συστήματα ουράς): πειθαρχία υπηρεσιών, αριθμός πανομοιότυπων συσκευών εξυπηρέτησης (κανάλια) σε κάθε κόμβο, κατανομή της διάρκειας των αιτημάτων εξυπηρέτησης σε κάθε κόμβο δικτύου.

Η λειτουργία ενός δικτύου αναμονής καθορίζεται από ένα σύνολο χαρακτηριστικών κόμβου και δικτύου. Τα χαρακτηριστικά κόμβου αξιολογούν τη λειτουργία κάθε QS και περιλαμβάνουν τα χαρακτηριστικά της ροής των αιτημάτων που φτάνουν στην είσοδο του κόμβου και ολόκληρο το σύνολο χαρακτηριστικών που είναι εγγενή στο QS. Τα χαρακτηριστικά του δικτύου αξιολογούν τη λειτουργία του δικτύου στο σύνολό του και περιλαμβάνουν:

1. φόρτωση – ο μέσος όρος χρόνου των αιτημάτων που εξυπηρετούνται από το δίκτυο και ταυτόχρονα ο μέσος αριθμός καναλιών που καταλαμβάνει η υπηρεσία.
2. τον αριθμό των εφαρμογών που αναμένουν υπηρεσία στο δίκτυο·
3. τον αριθμό των εφαρμογών στο δίκτυο (σε κατάσταση αναμονής και εξυπηρέτησης)·
4. συνολικός χρόνος αναμονής για μια εφαρμογή στο δίκτυο·
5. ο συνολικός χρόνος που πέρασε η εφαρμογή στο δίκτυο.

Τα δίκτυα ουράς συχνά συμπληρώνονται με ειδικούς κόμβους που επεκτείνουν τις δυνατότητες αναπαραγωγής διαφόρων τρόπων οργάνωσης της λειτουργίας ενός αεροσκάφους. Για παράδειγμα, τα μοντέλα δικτύου περιλαμβάνουν κόμβους μνήμης που μοντελοποιούν τη λειτουργία των συσκευών αποθήκευσης. Η εξυπηρέτηση ενός αιτήματος που λαμβάνεται στην είσοδο ενός κόμβου μνήμης περιορίζεται στην κατανομή της απαιτούμενης χωρητικότητας μνήμης. Εάν δεν υπάρχει περιοχή του απαιτούμενου μεγέθους στη μνήμη, το αίτημα μπαίνει σε μια ουρά και περιμένει μέχρι να ελευθερωθεί η μνήμη που έχει εκχωρηθεί σε προηγούμενα ληφθέντα αιτήματα. Οι δυνατότητες του δικτύου μπορούν να επεκταθούν με την εισαγωγή κόμβων που διαχειρίζονται τις διαδρομές των αιτημάτων: κατευθύνοντας το αίτημα ταυτόχρονα κατά μήκος πολλών διαδρομών. συγχρονισμός της κίνησης των αιτημάτων· αλλαγή των ιδιοτήτων των αιτημάτων. Τα δίκτυα ουράς με πρόσθετους κόμβους ονομάζονται στοχαστικά δίκτυα.
Τα στοχαστικά δίκτυα αναπαράγουν διαδικασίες εξυπηρέτησης πολλαπλών σταδίων, όταν ένα αίτημα εξυπηρετείται μέσω διαδοχικής πρόσβασης σε πόρους, συμπεριλαμβανομένων πολλών. Το πλεονέκτημα του δικτύου είναι η δομική του ομοιότητα με το πραγματικό σύστημα. Η σύνθεση των κόμβων και η διαμόρφωση των συνδέσεων μεταξύ τους αντιστοιχεί στη σύνθεση των συσκευών και στη σειρά της αλληλεπίδρασής τους σε ένα πραγματικό σύστημα. Λόγω αυτού, η διαδικασία κατασκευής μοντέλων δικτύου απλοποιείται σημαντικά και διασφαλίζεται η επάρκεια των διαδικασιών λειτουργίας των δικτύων και των συστημάτων που μοντελοποιούν.

Για την περιγραφή του αεροσκάφους, χρησιμοποιούνται ανοιχτά και κλειστά στοχαστικά δίκτυα. Σε ένα δίκτυο ανοιχτού βρόχου (ανοικτού) ορίζεται η ένταση της ροής εισόδου των αιτημάτων εξωτερικό περιβάλλονχωρίς να λαμβάνεται υπόψη η κατάσταση του δικτύου (Εικ. 2.2, α). Μετά την ολοκλήρωση της υπηρεσίας, τα αιτήματα εγκαταλείπουν το δίκτυο.

Ένας τύπος ανοιχτού δικτύου είναι μια διαδοχική αλυσίδα μονοκάναλου ή πολυκαναλικού QS. Ένα τέτοιο σύστημα, στο οποίο οι αιτήσεις εξυπηρετούνται διαδοχικά από πολλά QS, ονομάζεται πολυφασικό.

Ρύζι. 2.2. Ανοικτά (α) και κλειστά (β) στοχαστικά δίκτυα

Σε ένα κλειστό δίκτυο, η ένταση της λήψης των αιτήσεων εξαρτάται από την κατάσταση του δικτύου: η επόμενη εφαρμογή εισέρχεται στο δίκτυο μόνο μετά την ολοκλήρωση της πλήρους εξυπηρέτησης μιας από τις προηγούμενες εφαρμογές. Επομένως, σε ένα κλειστό δίκτυο, ο αριθμός των εφαρμογών είναι σταθερός και ίσος με τον αριθμό που μπορεί να εξυπηρετηθεί ταυτόχρονα από το δίκτυο. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να μιλάμε για μια πλασματική πηγή αιτημάτων και να υποθέσουμε ότι το δίκτυο δεν δέχεται αιτήματα από έξω και τα αιτήματα δεν φεύγουν από το δίκτυο, αλλά ένας σταθερός αριθμός αιτημάτων κυκλοφορεί σε αυτό (Εικ. 12.2.).
Εάν ένα στοχαστικό δίκτυο έχει QS με δύο ή περισσότερες εξόδους, π.χ. τέτοια QS, μετά την εξυπηρέτηση του οποίου διακλαδώνεται η ροή των αιτημάτων, τότε καθορίζονται οι κανόνες για τη διακλάδωση της ροής. Σε αυτή την περίπτωση, συνήθως υποδεικνύονται οι πιθανότητες μεταφοράς μιας εφαρμογής κατά μήκος της μιας ή της άλλης διαδρομής.

Ας εξετάσουμε έναν αριθμό συγκεκριμένων τύπων μοντέλων δικτύου που χρησιμοποιούνται για την αναπαραγωγή διαφόρων πτυχών της λειτουργίας του αεροσκάφους.

Εφαρμογή διαφόρων μαθηματικών μεθόδων στην επισημοποίηση. Έμφαση σε ένα σύνθετο σύστημα - απρόβλεπτο. Φορέαςη αβεβαιότητα είναι ένα άτομο.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα στοχαστικών (τυχαίων, πιθανολογικών) προβλημάτων είναι τα μοντέλα συστημάτων ουράς.

Τα QS είναι πανταχού παρόντα. Αυτά περιλαμβάνουν τηλεφωνικά δίκτυα, βενζινάδικα, καταστήματα εξυπηρέτησης καταναλωτών, εκδοτήρια εισιτηρίων, εκδηλώσεις αγορών κ.λπ.

Από την άποψη της μοντελοποίησης της διαδικασίας ουράς αναμονής, οι καταστάσεις κατά τις οποίες σχηματίζονται ουρές εφαρμογών (απαιτήσεις) για εξυπηρέτηση προκύπτουν ως εξής. Έχοντας φτάσει στο σύστημα εξυπηρέτησης, το αίτημα εντάσσεται στην ουρά άλλων (προηγουμένως ληφθέντων) αιτημάτων. Το κανάλι εξυπηρέτησης επιλέγει ένα αίτημα από εκείνους που βρίσκονται στην ουρά για να ξεκινήσει την εξυπηρέτησή του. Μετά την ολοκλήρωση της διαδικασίας για την εξυπηρέτηση του επόμενου αιτήματος, το κανάλι εξυπηρέτησης ξεκινά την εξυπηρέτηση του επόμενου αιτήματος, εάν υπάρχει στο μπλοκ αναμονής. Ο κύκλος λειτουργίας ενός συστήματος QS αυτού του είδους επαναλαμβάνεται πολλές φορές κατά τη διάρκεια ολόκληρης της περιόδου λειτουργίας του συστήματος σέρβις. Υποτίθεται ότι η μετάβαση του συστήματος στην εξυπηρέτηση του επόμενου αιτήματος μετά την ολοκλήρωση της εξυπηρέτησης του προηγούμενου αιτήματος πραγματοποιείται αμέσως, σε τυχαίους χρόνους.

Παραδείγματα ΚΟΑ περιλαμβάνουν:

Σταθμοί συντήρησης οχημάτων·

Σταθμοί επισκευής αυτοκινήτων?

ελεγκτικά γραφεία κ.λπ.

Ο ιδρυτής της θεωρίας της ουράς, ιδιαίτερα της θεωρίας των ουρών, είναι ο διάσημος Δανός επιστήμονας A.K Erlang (1878-1929), ο οποίος μελέτησε τις διαδικασίες εξυπηρέτησης στα τηλεφωνικά κέντρα.

Τα συστήματα στα οποία λαμβάνουν χώρα οι διαδικασίες εξυπηρέτησης ονομάζονται συστήματα ουράς (QS).

Για να περιγράψετε ένα σύστημα ουράς, πρέπει να ορίσετε:

- ροή εισροών εφαρμογών.

- πειθαρχία υπηρεσίας

- χρόνος εξυπηρέτησης

- αριθμός καναλιών εξυπηρέτησης.

Ροή εισόδου Οι απαιτήσεις (εφαρμογές) περιγράφονται με τον προσδιορισμό τους ως πιθανολογικές νόμος διανομήςστιγμές που οι απαιτήσεις εισέρχονται στο σύστημα και αριθμός απαιτήσεωνσε κάθε άφιξη.

Κατά τη ρύθμιση πειθαρχίες υπηρεσιών(DO) είναι απαραίτητο να περιγραφούν οι κανόνες για την αναμονή των αιτημάτων και την εξυπηρέτησή τους στο σύστημα. Σε αυτήν την περίπτωση, το μήκος της ουράς μπορεί να είναι είτε περιορισμένο είτε απεριόριστο. Σε περίπτωση περιορισμών στη διάρκεια της ουράς, αίτηση που λαμβάνεται στην είσοδο του QS απορρίπτεται. Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες DO ορίζονται από τους ακόλουθους κανόνες:

πρώτος έρχεται, πρώτος σερβίρεται?

Τελευταία άφιξη, πρώτος σερβιρίσματος. (κουτί για μπάλες τένις, στοίβα στην τεχνολογία)

τυχαία επιλογή εφαρμογών.

επιλογή των αιτήσεων με βάση κριτήρια προτεραιότητας.

Χρόνος εξυπηρέτησηςΤα αιτήματα στο QS είναι μια τυχαία μεταβλητή. Ο πιο κοινός νόμος κατανομής είναι ο εκθετικός νόμος.  - ταχύτητα εξυπηρέτησης. =αριθμός αιτημάτων υπηρεσίας/μονάδα. φορά.

Κανάλια εξυπηρέτησης, μπορεί να τακτοποιηθεί παράλληλα ή σε σειρά. Με μια διαδοχική διάταξη καναλιών, κάθε αίτημα εξυπηρετείται σε όλα τα κανάλια διαδοχικά. Με παράλληλη διάταξη καναλιών, η συντήρηση πραγματοποιείται σε όλα τα κανάλια ταυτόχρονα καθώς γίνονται διαθέσιμα.

Η γενικευμένη δομή του QS φαίνεται στο Σχ.

Θέμα θεωρία της ουράςείναι η δημιουργία μιας σχέσης μεταξύ των παραγόντων που καθορίζουν τη λειτουργικότητα του QS και την αποτελεσματικότητα της λειτουργίας του.

Προβλήματα σχεδιασμού συστήματος αναμονής.

Τα καθήκοντα προσδιορισμού των χαρακτηριστικών της δομής QS περιλαμβάνουν την εργασία επιλογής του αριθμού των καναλιών υπηρεσίας (βασικά στοιχεία (F εγώ)), το καθήκον του προσδιορισμού της μεθόδου σύνδεσης καναλιών (σύνολο στοιχείων σύνδεσης (Hj)), καθώς και το πρόβλημα του προσδιορισμού της χωρητικότητας του καναλιού.

1). Επιλογή δομής. Εάν τα κανάλια λειτουργούν παράλληλα, τότε το πρόβλημα της επιλογής Str καταλήγει στον προσδιορισμό του αριθμού των καναλιών στο τμήμα εξυπηρέτησης με βάση την προϋπόθεση για τη διασφάλιση της λειτουργικότητας του QS. (Εκτός κι αν η ουρά μεγαλώνει απεριόριστα).

Σημειώστε ότι κατά τον προσδιορισμό του αριθμού των καναλιών του συστήματος, σε περίπτωση παράλληλης διάταξής τους, είναι απαραίτητο να παρατηρήσετε κατάσταση λειτουργικότητας του συστήματος. Ας συμβολίσουμε:  - ο μέσος αριθμός των αιτήσεων που ελήφθησαν ανά μονάδα χρόνου, δηλ. ένταση ροής εισόδου.  - ο μέσος αριθμός εφαρμογών που ικανοποιούνται ανά μονάδα χρόνου, δηλ. Ένταση υπηρεσίας· μικρό - αριθμός καναλιών υπηρεσίας. Στη συνέχεια θα γραφεί η προϋπόθεση για τη λειτουργία του QS

ή
. Η εκπλήρωση αυτής της συνθήκης μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το κάτω όριο στον αριθμό των καναλιών.

Σε περίπτωση
, το σύστημα δεν μπορεί να αντιμετωπίσει την ουρά. Η ουρά μεγαλώνει απεριόριστα.

2). Είναι απαραίτητο να καθοριστεί το κριτήριο για την αποδοτικότητα λειτουργίας QS, λαμβάνοντας υπόψη το κόστος του χαμένου χρόνου τόσο από την πλευρά των αιτήσεων όσο και από την πλευρά του τμήματος εξυπηρέτησης.

Οι ακόλουθες τρεις κύριες ομάδες δεικτών θεωρούνται ως δείκτες της αποτελεσματικότητας της λειτουργίας του QS:

1. Δείκτες της αποτελεσματικότητας της χρήσης QS.

Η απόλυτη χωρητικότητα του QS είναι ο μέσος αριθμός αιτημάτων που μπορούν να εξυπηρετηθούν από το QS ανά μονάδα χρόνου.

Η σχετική χωρητικότητα του QS είναι ο λόγος του μέσου αριθμού εφαρμογών που εξυπηρετούνται από το QS ανά μονάδα χρόνου προς τον μέσο αριθμό των αιτήσεων που λαμβάνονται κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου.

Μέση διάρκεια της περιόδου απασχόλησης της ΚΟΑ.

Ο ρυθμός χρήσης του QS είναι η μέση αναλογία του χρόνου κατά τον οποίο το QS είναι απασχολημένο με αιτήματα εξυπηρέτησης.

2. Δείκτες ποιότητας για αιτήματα εξυπηρέτησης.

Μέσος χρόνος αναμονής για μια εφαρμογή στην ουρά.

Μέσος χρόνος παραμονής μιας εφαρμογής στον ΚΟΑ.

Η πιθανότητα να απορριφθεί η εξυπηρέτηση ενός αιτήματος χωρίς αναμονή.

Η πιθανότητα μια ληφθείσα αίτηση να γίνει άμεσα αποδεκτή για επίδοση.

Νόμος κατανομής χρόνου αναμονής για αίτηση σε ουρά.

Ο νόμος κατανομής του χρόνου παραμονής μιας αίτησης στο QS.

Ο μέσος αριθμός εφαρμογών στην ουρά.

Μέσος αριθμός αιτήσεων στην ΚΟΑ.

3. Δείκτες της αποτελεσματικότητας της λειτουργίας του ζεύγους «SMO - καταναλωτής».

Κατά την επιλογή ενός κριτηρίου για την αποτελεσματικότητα της λειτουργίας QS, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η διπλή προσέγγιση για την εξέταση των συστημάτων ουράς. Για παράδειγμα, η εργασία ενός σούπερ μάρκετ, όπως ένας ΚΟΑ, μπορεί να προβληθεί από αντίθετες πλευρές. Από τη μία πλευρά, παραδοσιακά αποδεκτό, ο αγοραστής που περιμένει στην ουρά στο ταμείο αντιπροσωπεύει ένα αίτημα για εξυπηρέτηση και ο ταμίας είναι το κανάλι εξυπηρέτησης. Από την άλλη πλευρά, ένας ταμίας που περιμένει πελάτες μπορεί να θεωρηθεί ως αίτημα για εξυπηρέτηση και ο αγοραστής είναι μια συσκευή εξυπηρέτησης ικανή να ικανοποιήσει το αίτημα, δηλ. πηγαίνετε στο ταμείο και σταματήστε την αναγκαστική διακοπή λειτουργίας του ταμείου. (παραδοσιακά - αγοραστές > από ταμίες, αν οι ταμίες > από αγοραστές, περιμένουν τους αγοραστές).

ΜΕ
Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, συνιστάται να ελαχιστοποιήσετε και τα δύο μέρη του QS ταυτόχρονα.

Η χρήση μιας τέτοιας διπλής προσέγγισης προϋποθέτει την ανάγκη να ληφθούν υπόψη, κατά τη διαμόρφωση του κριτηρίου απόδοσης, όχι μόνο οι δείκτες που αναφέρονται παραπάνω ξεχωριστά, αλλά και ταυτόχρονα αρκετοί δείκτες που αντικατοπτρίζουν τα συμφέροντα τόσο του εξυπηρετούμενου όσο και του εξυπηρετούμενου υποσυστήματος QS. Για παράδειγμα, αποδεικνύεται ότι το πιο σημαντικό κριτήριο αποτελεσματικότητας στα προβλήματα αναμονής είναι ο συνολικός χρόνος που αφιερώνει ένας πελάτης σε μια ουρά, από τη μία πλευρά, και ο χρόνος αδράνειας των καναλιών εξυπηρέτησης, από την άλλη.

Ταξινόμηση συστημάτων αναμονής

1. Με βάση τη φύση της υπηρεσίας, διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι QS:

1.1. Συστήματα αναμονής ή συστήματα αναμονής. Τα αιτήματα που εισέρχονται στο σύστημα και δεν γίνονται αμέσως αποδεκτά για εξυπηρέτηση, συσσωρεύονται σε μια ουρά. Εάν τα κανάλια είναι δωρεάν, τότε το αίτημα εξυπηρετείται. Εάν όλα τα κανάλια είναι απασχολημένα τη στιγμή που λαμβάνεται το αίτημα, τότε το επόμενο αίτημα θα εξυπηρετηθεί μετά την ολοκλήρωση του προηγούμενου. Ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται πλήρως προσβάσιμο (με απεριόριστη ουρά).

Υπάρχουν συστήματα με αυτόνομη συντήρησηόταν ξεκινά η υπηρεσία σε συγκεκριμένες ώρες.

Συστήματα περιορισμένης ουράς.

(επισκευή σε γκαράζ)Συστήματα με αστοχίες

.Όλες οι αιτήσεις που φτάνουν τη στιγμή της επίδοσης της αίτησης απορρίπτονται.

(GTS)

Συστήματα με ομαδική ροή εισόδου και ομαδική υπηρεσία

.Σε τέτοια συστήματα, τα αιτήματα φτάνουν σε ομάδες σε χρονικά σημεία και η εξυπηρέτηση πραγματοποιείται επίσης σε ομάδες.

2. Με βάση τον αριθμό των καναλιών υπηρεσίας, τα QS χωρίζονται στις ακόλουθες ομάδες.

Μονοκαναλικό SMO.Πολυκαναλικό QS

. Η εξυπηρέτηση του επόμενου αιτήματος μπορεί να ξεκινήσει πριν από το τέλος της εξυπηρέτησης του προηγούμενου αιτήματος. Κάθε κανάλι λειτουργεί ως ανεξάρτητη συσκευή εξυπηρέτησης.

3. Με βάση το εύρος των αντικειμένων που εξυπηρετούνται, διακρίνονται δύο τύποι.

Κλειστό QS.Ένα κλειστό σύστημα ουράς είναι ένα σύστημα αναμονής στο οποίο τα εξυπηρετούμενα αιτήματα μπορούν να επιστραφούν στο σύστημα και να εισαχθούν εκ νέου για εξυπηρέτηση. Παραδείγματα κλειστού συστήματος είναι τα συνεργεία επισκευής και τα ταμιευτήρια.

Ανοίξτε το SMO. 4. Με βάση τον αριθμό των σταδίων σέρβις, διακρίνονται τα μονοφασικά και πολυφασικά συστήματα QS. ΜονοφασικόΤα QS είναι ομοιογενή συστήματα που εκτελούν την ίδια λειτουργία σέρβις.

Η δεδομένη ταξινόμηση του QS είναι υπό όρους. Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το QS ενεργεί ως μικτά συστήματα. Για παράδειγμα, τα αιτήματα περιμένουν να ξεκινήσει η υπηρεσία μέχρι ένα ορισμένο σημείο, μετά το οποίο το σύστημα αρχίζει να λειτουργεί ως σύστημα με αποτυχίες.